Комплексні логарифми. Визначення та властивості Комплексні числа логарифмічна функція для чайників

Визначення та властивості

Комплексний нуль не має логарифму, оскільки комплексна експонента не набуває нульового значення. Ненульове texvc можна представити у показовій формі:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): k- довільне ціле число

Тоді Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \mathrm(Ln)\,zзнаходиться за формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Тут Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln\,r=\ln\,|z|- речовий логарифм. Звідси випливає:

З формули видно, що в одного і лише одного зі значень уявна частина перебуває в інтервалі Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc . Це значення називається головним значеннямкомплексного натурального логарифму. Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкоюлогарифма та позначається Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln\,z. Іноді через Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln\, zтакож позначають значення логарифму, що лежить не так на головній гілки. Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): z- речове число, то головне значення його логарифму збігається зі звичайним речовим логарифмом.

З наведеної формули також випливає, що речова частина логарифму визначається наступним чином через компоненти аргументу:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

На малюнку показано, що речова частина як функція компонентів центрально-симетрична і залежить тільки від відстані до початку координат. Вона виходить обертанням графіка речового логарифму навколо вертикальної осі. З наближенням до нуля функція прагне Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): -\infty.

Логарифм негативного числа знаходиться за формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \pm 2 \dots)

Приклади значень комплексного логарифму

Наведемо головне значення логарифму ( Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln) та загальне його вираження ( Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \mathrm(Ln)) для деяких аргументів:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилковогоміркування:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- Очевидна помилка.

Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифму, а праворуч - значення нижчої гілки ( Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): k=-1). Причина помилки – необережне використання властивості Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, яке, взагалі кажучи, має на увазі у комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифму, а не лише головне значення.

Комплексна логарифмічна функція та ріманова поверхня

В силу однозв'язку ріманова поверхня логарифма є універсальною накриваючою для комплексної площини без крапки. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc .

Аналітичне продовження

Логарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження речового логарифму на всю комплексну площину. Нехай крива Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає негативну частину речової осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): wкривий Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \Gammaможна визначити за формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \Gamma- проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Головна гілка логарифмічної функції безперервна і диференційована на всій комплексній площині, крім негативної частини речової осі, на якій уявна частина стрибком змінюється на Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): 2\pi. Але цей факт є наслідком штучного обмеження уявної частини головного значення інтервалом Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): (-\pi, \pi]. Якщо розглянути всі галузі функції, то безперервність має місце у всіх точках, крім нуля, де функція не визначена. Якщо дозволити кривою Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \Gammaперетинати негативну частину речовинної осі, то перше таке перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілка, а кожне наступне перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (див. малюнок).

З формули аналітичного продовження слід, що у будь-якій гілки логарифма :

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Для будь-якого кола Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): S, що охоплює точку Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): 0 :

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Інтеграл береться у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки). Це тотожність лежить в основі теорії відрахувань.

Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифму за допомогою рядів, відомих для речовинного випадку:

Проте з виду цих рядів випливає, що в одиниці сума ряду дорівнює нулю, тобто ряд відноситься лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифму. Радіус збіжності обох рядів дорівнює 1.

Зв'язок із зворотними тригонометричними та гіперболічними функціями

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (і z + \sqrt(1-z^2)) Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- зворотний гіперболічний синус Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- зворотний гіперболічний косинус Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- зворотний гіперболічний тангенс Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- зворотний гіперболічний котангенс

Історичний нарис

Перші спроби розповсюдити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося - насамперед з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначено саме поняття логарифму. Дискусія з цього приводу велася спочатку між Лейбніцем і Бернуллі, а в середині XVIII століття між Д'Аламбером і Ейлером. Бернуллі та Д'Аламбер вважали, що слід визначити Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): \log(-x) = \log(x), тоді як Лейбніц доводив, що логарифм негативного числа є уявне число . Повна теорія логарифмів негативних та комплексних чисел була опублікована Ейлером у 1747-1751 роках і по суті нічим не відрізняється від сучасної. Хоча суперечка тривала (Д'Аламбер відстоював свою думку і докладно аргументував їх у статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття отримав загальне визнання.

Напишіть відгук про статтю "Комплексний логарифм"

Література

Теорія логарифмів

• Корн Р., Корн Т.. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
• Свєшніков А. Г., Тихонов А. М.Теорія функцій комплексної змінної. – М.: Наука, 1967. – 304 с.
• Фіхтенгольц Г.М.Курс диференціального та інтегрального обчислення. - Вид. 6-те. – М.: Наука, 1966. – 680 с.

Історія логарифмів

• Математика XVIII століття // Під редакцією А. П. Юшкевича, у трьох томах. – М.: Наука, 1972. – Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).Математика ХІХ століття. Геометрія. Теорія аналітичних функций. – М.: Наука, 1981. – Т. II.

Примітки

1. Логарифмічна функція. //. – М.: Радянська Енциклопедія, 1982. – Т. 3.
2. , Том II, стор 520-522.
3. , с. 623..
4. , с. 92-94.
5. , с. 45-46, 99-100.
6. Болтянський Ст Р., Єфремович Ст.. – М.: Наука, 1982. – С. 112. – (Бібліотечка Квант, випуск 21).
7. , Том II, стор 522-526.
8. , с. 624..
9. , с. 325-328.
10. Рибніков К. А.Історія математики. У двох томах. – М.: Вид. МДУ, 1963. – Т. II. - С. 27, 230-231.
11. , с. 122-123.
12. Клейн Ф.. – М.: Наука, 1987. – Т. II. Геометрія. – С. 159-161. – 416 с.

Уривок, що характеризує Комплексний логарифм

Від дикого жаху, що охопив нас, ми кулями мчали широкою долиною, навіть не подумавши про те, що могли б швиденько піти на інший «поверх»... У нас просто не було часу про це подумати – ми дуже перелякалися.
Тварина летіла прямо над нами, голосно клацаючи своїм роззявленим зубастим дзьобом, а ми мчали, наскільки вистачало сил, розбризкуючи в сторони мерзотні слизові оббризки, і подумки благаючи, щоб щось інше раптом зацікавило цю моторошну «чудо-птаху»... , Що вона набагато швидше і відірватись від неї у нас просто не було жодних шансів. Як на зло, поблизу не росло ні одне дерево, не було ні кущів, ні навіть каміння, за яким можна було б сховатися, тільки в далині виднілася лихомовна чорна скеля.
– Туди! - Показуючи пальчиком на ту ж скелю, закричала Стелла.
Але раптом, несподівано, прямо перед нами звідкись з'явилася істота, від виду якої у нас буквально застигла в жилах кров... Вона виникла ніби «прямо з повітря» і була по-справжньому жахливою... Величезну чорну тушу суцільно покривали довге жорстке волосся, роблячи його схожим на пузатого ведмедя, тільки цей «ведмідь» був зростом з триповерховий будинок... Бугриста голова чудовиська «вінчалася» двома величезними вигнутими рогами, а жахливу пащу прикрашала пара неймовірно довгих, гострих, як ножі ікол, тільки подивившись на які, з переляку підкошувалися ноги... І тут, невимовно нас здивувавши, монстр легко підстрибнув вгору і....підчепив летючу «гидоту» на один зі своїх величезних іклів... Ми ошелешено застигли.
- Біжимо! - Заверещала Стелла. - Тікаємо, поки він «зайнятий»!
І ми вже готові були знову йти без оглядки, як раптом за нашими спинами пролунав тоненький голосок:
- Дівчатка, зачекайте! Не треба тікати!.. Дін урятував вас, він не ворог!
Ми різко обернулися - ззаду стояла крихітна, дуже красива чорноока дівчинка... і спокійно прасувала чудовисько, що підійшло до неї!.. У нас від здивування очі полізли на лоб... Це було неймовірно! Вже точно - це був день сюрпризів!.. Дівчинка, дивлячись на нас, привітно посміхалася, зовсім не боячись поряд волохатого чудовиська, що стоїть поруч.
– Будь ласка, не бійтеся його. Він дуже добрий. Ми побачили, що за вами гналася Овара та вирішили допомогти. Дін молодчина встиг вчасно. Правда, мій добрий?
«Гарний» забурчав, що пролунав як легкий землетрус і, нахиливши голову, лизнув дівчинку в обличчя.
- А хто така Овара, і чому вона на нас напала? - Запитала я.
– Вона нападає на всіх, вона – хижак. І дуже небезпечна, – спокійно відповіла дівчинка. – А можна спитати, що ви тут робите? Адже ви не звідси, дівчата?
- Ні, не звідси. Ми просто гуляли. Але таке ж питання до тебе – а що ти тут робиш?
Я до мами ходжу... - похмуріло малятко. – Ми померли разом, але чомусь вона потрапила сюди. І ось тепер я живу тут, але я їй цього не говорю, бо вона ніколи з цим не погодиться. Вона думає, що я тільки приходжу...
- А чи не краще і справді тільки приходити? Тут же так жахливо!.. – пересмикнула плічками Стелла.
– Я не можу її залишити тут одну, я за нею дивлюся, щоб із нею нічого не сталося. І ось Дін зі мною... Він мені допомагає.
Я просто не могла цьому повірити... Це малесеньке хороброе дівчисько добровільно пішло зі свого гарного і доброго «поверху», щоб жити в цьому холодному, жахливому і чужому світі, захищаючи свою, чимось «виннуту», мати! Не багато, думаю, знайшлося б таких хоробрих і самовідданих (навіть дорослих!) людей, які зважилися б на подібний подвиг... І я тут же подумала - може, вона просто не розуміла, на що збиралася приречити себе?!
– А як давно ти тут, дівчинко, як не секрет?
- Нещодавно... - сумно відповіла, смикаючи пальчиками чорний локон свого кучерявого волосся, чорнооке малятко. - Я потрапила в такий гарний світ, коли померла!.. Він був таким добрим і світлим!.. А потім побачила, що мами зі мною немає і кинулася її шукати. Спершу було так страшно! Її чомусь ніде не було... І тоді я провалилася в цей жахливий світ... І тут її знайшла. Мені було так страшно тут... Так самотньо... Мама веліла мені йти, навіть лаяла. Але я не можу її залишити... Тепер у мене з'явився друг, мій добрий Дін, і я вже можу тут якось існувати.
Її «добрий друг» знову загарчав, від чого у нас зі Стеллою поповзли величезні «нижньоастральні» мурашки... Зібравшись, я спробувала трохи заспокоїтися, і почала придивлятися до цього волохатого дива... А він, одразу ж відчувши, що на нього звернули увагу, моторошно оскалив свою ікласту пащу... Я відскочила.
– Ой, не бійтеся будь ласка! Це він вам усміхається, - заспокоїла дівчинка.
Так... Від такої посмішки швидко бігати навчишся... - подумала я.
- А як же сталося, що ти з ним потоваришувала? - Запитала Стелла.
– Коли я тільки сюди прийшла, мені було дуже страшно, особливо коли нападали такі чудовиська, як на вас сьогодні. І ось одного разу, коли я вже мало не загинула, Дін врятував мене від цілої купи страшних літаючих «птах». Я його теж злякалася спочатку, але потім зрозуміла, яке у нього золоте серце... Він найкращий друг! У мене таких ніколи не було, навіть коли я мешкала на Землі.
- А як же ти до нього так швидко звикла? Адже у нього зовнішність не зовсім, скажімо так, звична...
– А я зрозуміла тут одну дуже просту істину, яку на Землі чомусь і не помічала – зовнішність не має значення, якщо у людини чи істоти добре серце... Моя мама була дуже гарною, але часом і дуже зла теж. І тоді вся її краса кудись пропадала... А Дін, хоч і страшний, зате завжди дуже добрий, і завжди мене захищає, я відчуваю його добро і не боюся нічого. А до зовнішності можна звикнути.
- А ти знаєш, що ти будеш тут дуже довго, набагато довше, ніж люди живуть на землі? Невже ти хочеш тут залишитися?
– Тут моя мама, отже, я мушу їй допомогти. А коли вона «піде», щоб знову жити на Землі – я теж піду... Туди, де добра більше. У цьому страшному світі і люди дуже дивні – начебто вони й не мешкають взагалі. Чому так? Ви щось про це знаєте?
- А хто тобі сказав, що твоя мама піде, щоб знову жити? - Зацікавилася Стелла.
- Дін, звичайно. Він багато знає, адже він дуже довго тут живе. А ще він сказав, що коли ми (я і мама) знову житимемо, у нас сім'ї будуть вже інші. І тоді в мене вже не буде цієї мами... Отож я й хочу з нею зараз побути.
- А як ти з ним говориш, зі своїм Діном? - Запитала Стелла. – І чому ти не бажаєш сказати своє ім'я?
А й справді – ми досі не знали, як її звуть! І звідки вона теж не знали...
- Мене звали Марія... Але хіба тут це має значення?
- Ну звичайно ж! - Розсміялася Стелла. - А як же з тобою спілкуватися? Ось коли підеш - там тобі нове ім'я назвуть, а поки ти тут, доведеться жити зі старим. А ти тут із кимось ще говорила, дівчинко Маріє? - За звичкою перескакуючи з теми на тему, запитала Стелла.
- Так, спілкувалася ... - Невпевнено сказала дівчинка. – Але ж вони тут такі дивні. І такі нещасні... Чому вони такі нещасні?
- А хіба те, що ти тут бачиш, має на щастя? - Здивувалася її питанню я. – Навіть сама тутешня «реальність» заздалегідь вбиває будь-які надії!.. Як же тут можна бути щасливим?
- Не знаю. Коли я з мамою, мені здається, я і тут могла б бути щасливою... Щоправда, тут дуже страшно, і їй тут дуже не подобається... Коли я сказала, що згодна з нею залишитися, вона на мене сильно накричала і сказала , що я її «безмозке нещастя»... Але я не ображаюся... Я знаю, що їй просто страшно. Так само, як і мені...
- Можливо, вона просто хотіла тебе вберегти від твого «екстремального» рішення, і хотіла, щоб ти пішла назад на свій «поверх»? - Обережно, щоб не образити, спитала Стелла.
- Ні, звичайно ж... Але дякую вам за добрі слова. Мама часто називала мене не зовсім добрими іменами, навіть на Землі... Але я знаю, що це не зі злості. Вона просто була нещасною через те, що я народилася, і часто мені говорила, що я зруйнувала їй життя. Але ж це не була моя вина, правда ж? Я завжди намагалася зробити її щасливою, але чомусь мені це не дуже вдавалося... А тата в мене ніколи не було. - Марія була дуже сумною, і голосок у неї тремтів, наче вона ось-ось заплаче.
Ми зі Стеллою переглянулися, і я була майже впевнена, що її відвідали схожі думки... Мені вже зараз дуже не подобалася ця розпещена, егоїстична «мама», яка замість самої турбуватися про свою дитину, її ж героїчну жертву зовсім не розуміла і, на додачу, ще боляче кривдила.
- А ось Дін каже, що я хороша, і що я роблю його дуже щасливим! - Вже веселіше пролепетала мала. - І він хоче зі мною дружити. А інші, кого я тут зустрічала, дуже холодні та байдужі, а іноді навіть злі... Особливо ті, у кого монстри причеплені...
– Монстри – що?.. – не зрозуміли ми.
– Ну, у них страшні чудовиська на спинах сидять і кажуть їм, що вони мають робити. А якщо ті не слухають - чудовиськи над ними страшно знущаються... Я спробувала поговорити з ними, але ці монстри не дозволяють.
Ми абсолютно нічого з цього «пояснення» не зрозуміли, але сам факт, що якісь астральні істоти катують людей, не міг залишитися нами не «дослідженим», тому ми відразу її запитали, як ми можемо це дивовижне явище побачити.
- О, та скрізь! Особливо біля "чорної гори". Там він, за деревами. Бажаєте, ми теж з вами підемо?
- Звичайно, ми тільки раді! – одразу ж відповіла зраділа Стелла.
Мені теж, якщо чесно, не дуже посміхалася перспектива зустрічатися з кимось ще, «моторошним і незрозумілим», особливо самотужки. Але цікавість переборювала страх, і ми, звичайно ж, пішли б, незважаючи на те, що трохи побоювалися... Але коли з нами йшов такий захисник як Дін - відразу ж ставало веселіше...
І ось, через коротку мить, перед нашими широко розкритими від подиву очима розгорнулося справжнє Пекло... Бачення нагадувало картини Боша (або Боска, залежно від того, якою мовою перекладати), «божевільного» художника, який потряс одного разу своїм мистецтвом весь світ... Божевільним він, звичайно ж, не був, а був просто бачить, який чомусь міг бачити лише нижній Астрал. Але треба віддати йому належне - зображував він його чудово... Я бачила його картини в книзі, яка була в бібліотеці мого тата, і досі пам'ятала те моторошне відчуття, яке несли в собі більшість його картин...
– Жах який!.. – прошепотіла приголомшена Стелла.
Можна, напевно, було б сказати, що ми бачили тут, на «поверхах», уже багато... Але такого навіть ми не в змозі були уявити в найжахливішому нашому кошмарі!.. За «чорною скелею» відкрилося щось зовсім немислиме... Це було схоже на величезний, вибитий у скелі, плоский «котел», на дні якого пузирилася багряна «лава»... Розпечене повітря «лопалося» всюди дивними червоними пухирями, що спалахували, з яких виривався обпалююча пара і великими краплями падала. на землю, або на людей, які в той момент під нього піднімалися... Лунали несамовиті крики, але тут же змовкали, бо на спинах тих же людей сиділи огидні тварюки, які з задоволеним виглядом «керували» своїми жертвами, не звертаючи жодної уваги на їхні страждання... Під оголеними ступнями людей червоніло розпечене каміння, пузирилося і «плавилося» пишна жаром багряна земля... Крізь величезні тріщини проривалися виплески гарячої пари і, обпалюючи ступні людським сутностям, що ридали від болю, неслися. у вись, випаровуючись легким димком... А по самій середині «котловану» протікала яскраво-червона, широка вогненна річка, в яку, час від часу, ті ж огидні монстри несподівано жбурляли ту чи іншу змучену сутність, яка, падаючи, викликала лише короткий сплеск помаранчевих іскор, і тут же, перетворившись на мить на пухнасту білу хмарку, зникала... вже назавжди... Це було справжнє Пекло, і нам зі Стеллою захотілося якнайшвидше звідти «зникнути»...
– Що робитимемо?.. – у тихому жаху прошепотіла Стелла. - Ти хочеш туди спускатись? Хіба ми можемо їм чимось допомогти? Подивися, як їх багато!
Ми стояли на чорно-бурому, висушеному жаром обриві, спостерігаючи занизане жахом «місиво» болю, безвиході, і насильства, і відчували себе настільки по-дитячому безсилими, що навіть моя войовнича Стелла на цей раз безапеляційно склала і готова була по першому ж поклику помчати на свій, такий рідний і надійний, верхній «поверх»...

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Визначення та властивості

Комплексний нуль не має логарифму, оскільки комплексна експонента не набуває нульового значення. Ненульове $z$можна представити у показовій формі:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$де $k$- довільне ціле число

Тоді $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$знаходиться за формулою:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Тут $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- речовий логарифм. Звідси випливає:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Приклади значень комплексного логарифму

Наведемо головне значення логарифму ( $\backslash ln$) та загальне його вираження ( $\backslash mathrm(Ln)$) для деяких аргументів:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln(i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилковогоміркування:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- Очевидна помилка.

Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифму, а праворуч - значення нижчої гілки ( $k=-1$). Причина помилки – необережне використання властивості $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, яке, взагалі кажучи, має на увазі у комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифму, а не лише головне значення.

Комплексна логарифмічна функція та ріманова поверхня

В силу однозв'язку ріманова поверхня логарифма є універсальною накриваючою для комплексної площини без крапки. $0$.

Аналітичне продовження

Логарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження речового логарифму на всю комплексну площину. Нехай крива $\backslash Gamma$починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає негативну частину речової осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці $w$кривий $\backslash Gamma$можна визначити за формулою:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Якщо $\backslash Gamma$- проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Головна гілка логарифмічної функції безперервна і диференційована на всій комплексній площині, крім негативної частини речової осі, на якій уявна частина стрибком змінюється на $2\backslash pi$. Але цей факт є наслідком штучного обмеження уявної частини головного значення інтервалом $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Якщо розглянути всі галузі функції, то безперервність має місце у всіх точках, крім нуля, де функція не визначена. Якщо дозволити кривою $\backslash Gamma$перетинати негативну частину речовинної осі, то перше таке перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілка, а кожне наступне перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (див. малюнок).

З формули аналітичного продовження слід, що у будь-якій гілки логарифма :

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash over\; z)$

Для будь-якого кола $S$, що охоплює точку $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Інтеграл береться у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки). Це тотожність лежить в основі теорії відрахувань.

Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифму за допомогою рядів, відомих для речовинного випадку:

{{{2}}}

(Ряд 1)

{{{2}}}

(Ряд 2)

Проте з виду цих рядів випливає, що в одиниці сума ряду дорівнює нулю, тобто ряд відноситься лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифму. Радіус збіжності обох рядів дорівнює 1.

Зв'язок із зворотними тригонометричними та гіперболічними функціями

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (і\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- зворотний гіперболічний синус $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- зворотний гіперболічний косинус $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- зворотний гіперболічний тангенс $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- зворотний гіперболічний котангенс

Історичний нарис

Перші спроби розповсюдити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося - насамперед з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначено саме поняття логарифму. Дискусія з цього приводу велася спочатку між Лейбніцем і Бернуллі, а в середині XVIII століття між Д'Аламбером і Ейлером. Бернуллі та Д'Аламбер вважали, що слід визначити $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, тоді як Лейбніц доводив, що логарифм негативного числа є уявне число . Повна теорія логарифмів негативних та комплексних чисел була опублікована Ейлером у 1747-1751 роках і по суті нічим не відрізняється від сучасної. Хоча суперечка тривала (Д'Аламбер відстоював свою думку і докладно аргументував їх у статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття отримав загальне визнання.

Напишіть відгук про статтю "Комплексний логарифм"

Література

Теорія логарифмів

• Корн Р., Корн Т.. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
• Свєшніков А. Г., Тихонов А. М.Теорія функцій комплексної змінної. – М.: Наука, 1967. – 304 с.
• Фіхтенгольц Г.М.Курс диференціального та інтегрального обчислення. - Вид. 6-те. – М.: Наука, 1966. – 680 с.

Історія логарифмів

• Математика XVIII століття // Під редакцією А. П. Юшкевича, у трьох томах. – М.: Наука, 1972. – Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).Математика ХІХ століття. Геометрія. Теорія аналітичних функций. – М.: Наука, 1981. – Т. II.

Примітки

1. Логарифмічна функція. //. – М.: Радянська Енциклопедія, 1982. – Т. 3.
2. , Том II, стор 520-522.
3. , с. 623..
4. , с. 92-94.
5. , с. 45-46, 99-100.
6. Болтянський Ст Р., Єфремович Ст.. – М.: Наука, 1982. – С. 112. – (Бібліотечка Квант, випуск 21).
7. , Том II, стор 522-526.
8. , с. 624..
9. , с. 325-328.
10. Рибніков К. А.Історія математики. У двох томах. – М.: Вид. МДУ, 1963. – Т. II. - С. 27, 230-231.
11. , с. 122-123.
12. Клейн Ф.. – М.: Наука, 1987. – Т. II. Геометрія. – С. 159-161. – 416 с.

Уривок, що характеризує Комплексний логарифм

Видно було, що цей сильний, дивний чоловік перебував під чарівним впливом, виробленим на нього цією чорненькою, граційною, люблячою дівчинкою.
Ростов помічав щось нове між Долоховим і Сонею; але не визначав собі, які це були нові відносини. «Вони там усі закохані в когось», думав він про Соню та Наташу. Але йому було не так, як раніше, спритно з Сонею та Долоховим, і він рідше став бувати вдома.
З осені 1806 знову все заговорило про війну з Наполеоном ще з більшим жаром, ніж минулого року. Призначений був не тільки набір рекрут, але й ще 9 ратників із тисячі. Всюди проклинали анафемою Бонапартія, і в Москві тільки й толку було, що про майбутню війну. Для сімейства Ростових весь інтерес цих приготувань до війни полягав тільки в тому, що Миколушка нізащо не погоджувався залишатися в Москві і вичікував тільки кінця відпустки Денісова для того, щоб з ним разом їхати в полк після свят. Майбутній від'їзд не тільки не заважав йому веселитись, але ще заохочував його до цього. Більшість часу він проводив поза домом, на обідах, вечорах і балах.

ХI
На третій день Різдва Микола обідав удома, що останнім часом рідко траплялося з ним. Це був офіційно прощальний обід, оскільки він із Денисовим їхав у полк після Хрещення. Обідало чоловік двадцять, у тому числі Долохов та Денисов.
Ніколи в будинку Ростових любовне повітря, атмосфера закоханості не давали себе почувати таку силу, як у ці дні свят. «Лови хвилини щастя, змушуй себе кохати, закохайся сам! Тільки це одне є справжнє на світі – решта все нісенітниця. І цим одним ми тут тільки й зайняті», – казала ця атмосфера. Микола, як і завжди, закатував дві пари коней і то не встигнувши побувати у всіх місцях, де йому треба було бути і куди його звали, приїхав додому перед обідом. Як тільки він увійшов, він помітив і відчув напруженість любовної атмосфери в будинку, але крім того він помітив дивне замішання, що панує між деякими членами суспільства. Особливо схвильовані були Соня, Долохов, стара графиня та трохи Наташа. Микола зрозумів, що щось мало статися до обіду між Сонею і Долоховим і з властивою йому чуйністю серця був дуже ніжний і обережний, під час обіду, у поводженні з ними обома. Того ж вечора третього дня свят мав бути один із тих балів у Йогеля (танцювального вчителя), які він давав у свята для всіх своїх учнів та учениць.
- Ніколенько, ти поїдеш до Йогеля? Будь ласка, їдь, – сказала йому Наталя, – він тебе особливо просив, і Василь Дмитрич (це був Денисов) їде.
- Куди я не поїду за наказом ґафіні!
– Коли встигну! Я обіцяв Архаровим, у них вечір, – сказав Микола.
– А ти? – звернувся він до Долохова. І щойно спитав це, помітив, що цього не треба було питати.
— Так, може… — холодно й сердито відповів Долохов, глянувши на Соню і, насупившись, наче такий погляд, яким він на клубному обіді дивився на П'єра, знову глянув на Миколу.
«Щось є», подумав Микола і ще більше утвердився в цьому припущенні тим, що Долохов відразу ж після обіду поїхав. Він викликав Наталку і запитав, що таке?
- А я тебе шукала, - сказала Наташа, вибігши до нього. - Я казала, ти все не хотів вірити, - тріумфально сказала вона, - він зробив пропозицію Соні.
Як не мало займався Микола Соней за цей час, але щось ніби відірвалося в ньому, коли він почув це. Долохов був пристойна і в деяких відносинах блискуча партія для сиру Соні. З погляду старої графині та світла не можна було відмовити йому. І тому перше почуття Миколи, коли він почув це, було озлоблення проти Соні. Він готувався до того, щоб сказати: «І чудово, зрозуміло, треба забути дитячі обіцянки та прийняти пропозицію»; але не встиг він ще сказати цього.
- Можеш собі уявити! вона відмовила, зовсім відмовила! - Заговорила Наталя. - Вона сказала, що любить іншого, - додала вона, трохи помовчавши.
«Та інакше і не могла вчинити моя Соня!» подумав Микола.
- Скільки її не просила мама, вона відмовила, і я знаю, вона не змінить, якщо що сказала...
– А мама просила її! - З докором сказав Микола.
- Так, - сказала Наталка. – Знаєш, Ніколенько, не гнівайся; але я знаю, що ти на ній не одружишся. Я знаю, Бог знає чому, я знаю вірно, ти не одружишся.
– Ну, цього ти не знаєш, – сказав Микола; - Але мені треба поговорити з нею. Що за краса, ця Соня! – додав він, посміхаючись.
- Це така чарівність! Я тобі надішлю її. - І Наталка, поцілувавши брата, втекла.
Через хвилину увійшла Соня, злякана, розгублена та винна. Микола підійшов до неї та поцілував її руку. Це був перший раз, що вони в цей приїзд говорили віч-на-віч і про своє кохання.
- Sophie, - сказав він спочатку несміливо, а потім все сміливіше і сміливіше, - якщо ви хочете відмовитися не тільки від блискучої, від вигідної партії; але він прекрасний, шляхетний чоловік… він мій друг…
Соня перебила його.
- Я вже відмовилася, - поспішно сказала вона.
– Якщо ви відмовляєтесь для мене, то я боюся, що на мені…
Соня знову перебила його. Вона благаючим, переляканим поглядом подивилася на нього.
- Nicolas, не кажіть мені цього, - сказала вона.
- Ні, я мушу. Може бути це suffisance [самонадіяність] з мого боку, але все краще сказати. Якщо ви відмовитесь мені, то я повинен вам сказати всю правду. Я вас люблю, я думаю, найбільше…
– Мені й годі, – спалахнувши, сказала Соня.
- Ні, але я тисячу разів закохувався і закохуватимуся, хоча такого почуття дружби, довіри, любові, я ні до кого не маю, як до вас. Потім я молодий. Маман не хоче цього. Ну, просто я нічого не обіцяю. І я прошу вас подумати про пропозицію Долохова, - сказав він, насилу вимовляючи прізвище свого друга.
– Не кажіть мені цього. Я нічого не хочу. Я люблю вас, як брата, і завжди любитиму, і більше мені нічого не треба.
- Ви ангел, я вас не стою, але я лише боюся обдурити вас. - Микола ще раз поцілував її руку.

Йогель мав найвеселіші бали в Москві. Це говорили матінки, дивлячись на своїх adolescentes, [дівчат,] що виробляють свої щойно вивчені па; це говорили і самі adolescentes і adolescents, [дівчата та юнаки,] танцювали до упаду; ці дорослі дівчата і молоді люди, які приїжджали на ці бали з думкою зійти до них і знаходячи в них найкращі веселощі. Цього ж року на цих балах сталося два шлюби. Дві гарненькі княжни Горчакові знайшли наречених і вийшли заміж, і тим більше пустили на славу ці бали. Особливого на цих балах було те, що не було господаря та господині: був, як пух літаючий, за правилами мистецтва розшаркується, добродушний Йогель, який приймав квитки за уроки від усіх своїх гостей; було те, що на ці бали ще їжджали тільки ті, хто хотів танцювати і веселитися, як цього хочуть 13-ти і 14-ти літні дівчинки, які вперше одягають довгі сукні. Усі, за рідкісними винятками, були чи здавались гарненькими: так захоплено вони всі посміхалися і так розгорялися їхні очі. Іноді танцювали навіть pas de chale найкращі учениці, з яких найкращою була Наталка, яка відзначалася своєю граціозністю; але на цьому, останньому балі танцували тільки екосези, англези і мазурку, що щойно входить в моду. Зал був взятий Йогелем у будинок Безухова, і бал дуже вдався, як говорили всі. Багато було гарненьких дівчаток, і Ростові панночки були з найкращих. Вони обидві були особливо щасливі та веселі. Цього вечора Соня, горда пропозицією Долохова, своєю відмовою та поясненням з Миколою, кружляла ще вдома, не даючи дівчині дочухати свої коси, і тепер наскрізь світилася рвучкою радістю.
Наташа, не менш горда тим, що вона вперше була в довгій сукні, на справжньому балі, була ще щасливішою. Обидві були у білих, кисейних сукнях із рожевими стрічками.
Наталя стала закохана з тієї самої хвилини, як вона увійшла на бал. Вона не була закохана ні в кого особливо, але була закохана у всіх. У того, на кого вона дивилася в ту мить, як вона дивилася, в того вона і була закохана.
– Ах, як добре! - Все говорила вона, підбігаючи до Соні.
Микола з Денисовим ходили по залах, лагідно і заступно оглядаючи танців.
- Як вона мила, до асавиці буде, - сказав Денисов.
– Хто?
- Гафіня Наташа, - відповів Денисов.
- І як вона танцює, яка гація! - Помовчавши трохи, знову сказав він.
- Та про кого ти говориш?
- Про сест у п твою, - сердито крикнув Денисов.
Ростов усміхнувся.
- Mon cher comte; Vous etes l'un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, – сказав маленький Йогель, підходячи до Миколи. – Voyez combien de jolies demoiselles. гарненьких дівчат!] - Він з тим же проханням звернувся і до Денисова, теж свого колишнього учня.
— Ні, мій любий, я сиджу біля стіни, — сказав Денисов. - Хіба ви не пам'ятаєте, як я погано користувався вашими уроками?
- О ні! - поспішно втішаючи його, сказав Йогель. - Ви тільки неуважні були, а ви мали здібності, так, ви мали здібності.
Заграли мазурку, що знову вводилася; Микола не міг відмовити Йогелю і запросив Соню. Денисов підсів до бабусь і спершись на шаблю, притупуючи такт, що щось весело розповідав і смішив старих дам, поглядаючи на молодь, що танцює. Йогель у першій парі танцував з Наталкою, своєю гордістю та найкращою ученицею. М'яко, ніжно перебираючи своїми ніжками в черевичках, Йогель першим полетів по залі з боязкою, але старанно виготовляє па Наталкою. Денисов не зводив з неї очей і пристукував шаблею такт, з таким виглядом, який ясно казав, що він сам не танцює лише від того, що не хоче, а не від того, що не може. У середині фігури він підкликав до себе Ростова.
- Це зовсім не те, - сказав він. – Хіба це польська мазу”ка? А чудово танцює. – Знаючи, що Денисов і в Польщі навіть славився своєю майстерністю танцювати польську мазурку, Микола підбіг до Наташі:
- Іди, вибери Денисова. Ось танцює! Диво! - сказав він.
Коли знову настала черга Наташі, вона встала і швидко перебираючи своїми з бантиками черевичками, боязко, одна пробігла через залу до кута, де сидів Денисов. Вона бачила, що всі дивляться на неї і чекають. Микола бачив, що Денисов та Наташа посміхаючись сперечалися, і що Денисов відмовлявся, але радісно посміхався. Він підбіг.
– Будь ласка, Василю Дмитричу, – говорила Наталка, – ходімо, будь ласка.
- Так, що, вибачте, пані, - говорив Денисов.
– Ну, годі, Васю, – сказав Микола.
- Точно кота Ваську кутують, - жартома сказав Денисов.
- Цілий вечір вам співатиму, - сказала Наталка.
- Чарівниця все зі мною зробить! - Сказав Денисов і відстебнув шаблю. Він вийшов із-за стільців, міцно взяв за руку свою даму, підняв голову і відставив ногу, чекаючи такту. Тільки на коні і в мазурці не видно було маленького зросту Денисова, і він уявлявся тим молодцем, яким він сам себе почував. Виждав такт, він з боку, переможно і жартівливо, глянув на свою даму, несподівано пристукнув однією ногою і, як м'ячик, пружно відскочив від підлоги і полетів уздовж по колу, тягнучи за собою свою даму. Він не чутно летів половину зали на одній нозі, і, здавалося, не бачив стільців, що стояли перед ним, і прямо мчав на них; але раптом, клацнувши шпорами й розставивши ноги, зупинявся на підборах, стояв так секунду, з гуркотом шпор стукав на одному місці ногами, швидко крутився і, лівою ногою підштовхуючи праву, знову летів по колу. Наташа вгадувала те, що він мав намір зробити, і сама не знаючи як, стежила за ним - віддаючись йому. То він кружляв її, то на правій, то на лівій руці, то падаючи на коліна, обводив її навколо себе, і знову схоплювався і пускався вперед з такою стрімкістю, ніби він мав намір, не переводячи духу, перебігти через усі кімнати; то раптом знову зупинявся і знову робив нове і несподіване коліно. Коли він, жваво закружляючи даму перед її місцем, клацнув шпорою, кланяючись перед нею, Наташа навіть не присіла йому. Вона з подивом втупила на нього очі, посміхаючись, ніби не впізнаючи його. - Що це таке? – промовила вона.
Незважаючи на те, що Йогель не визнавав цієї мазурки справжньою, всі були захоплені майстерністю Денисова, безперестанку стали вибирати його, і старі, посміхаючись, почали розмовляти про Польщу і про старий час. Денисов, розчервонівшись від мазурки і обтираючи хусткою, підсів до Наташі і весь бал не відходив від неї.

Показова функція речовинної змінної (при позитивному підставі) визначається кілька прийомів. Спершу, для натуральних значень – як добуток рівних співмножників. Потім визначення поширюється на цілі негативні та ненульові значення для за правилами. Далі розглядаються дробові показники, у яких значення показової функції визначається з допомогою коренів: . Для ірраціональних значень визначення пов'язане з основним поняттям математичного аналізу - з граничним переходом, з міркувань безперервності. Всі ці міркування ніяк не застосовні до спроб поширити показову функцію на комплексні значення показника, і що таке, наприклад, абсолютно незрозуміло.

Вперше ступінь з комплексним показником при натуральній основі була введена Ейлером на основі аналізу низки побудов інтегрального обчислення. Іноді дуже схожі вирази алгебри при інтегруванні дають зовсім різні відповіді:

У той же час тут другий інтеграл формально виходить із першого при заміні на

Звідси можна зробити висновок, що при належному визначенні показової функції з комплексним показником зворотні тригонометричні функції споріднені з логарифмами і тим самим показова функція пов'язана з тригонометричними.

У Ейлера вистачило сміливості та фантазії дати розумне визначення для показової функції з основою.

Це визначення, і тому ця формула не доводиться, можна лише шукати аргументи на користь розумності та доцільності такого визначення. Математичний аналіз завдає дуже багато аргументів цього роду. Ми обмежимося лише одним.

Відомо, що з речовому має місце граничне співвідношення: . У правій частині знаходиться многочлен, що має сенс і за комплексних значень для . Межа послідовності комплексних чисел визначається природним чином. Послідовність вважається схожою, якщо сходяться послідовності речових і уявних частин і приймається

Знайдемо. Для цього звернемося до тригонометричної форми, причому для аргументу вибиратимемо значення з проміжку. За такого вибору ясно, що . Далі,

Для граничного переходу необхідно переконатися в існуванні меж для і знайти ці межі. Ясно, що і

Отже, у виразі

речова частина прагне до , уявна - до так що

Це нескладне міркування дає одне із аргументів на користь визначення Ейлера показової функції.

Встановимо тепер, що з множенні значень показової функції показники складаються. Дійсно:

2. Формули Ейлера.

Покладемо у визначенні показової функції. Отримаємо:

Замінивши b на -b отримаємо

Складаючи та віднімаючи почленно ці рівності, знайдемо формули

носять назву формул Ейлера. Вони встановлюють зв'язок між тригонометричними функціями та показовою з уявними показниками.

3. Натуральний логарифм комплексного числа.

Комплексне число, задане в тригонометричній формі, можна записати у формі Ця форма запису комплексного числа називається показовою. Вона зберігає всі добрі властивості тригонометричної форми, але ще коротша. Далі, тому природно вважати, що так що речовинною частиною логарифму комплексного числа виявляється логарифм його модуля, уявною частиною - його аргумент. Це певною мірою пояснює «логарифмічну» властивість аргументу – аргумент твору дорівнює сумі аргументів співмножників.

План:

Вступ

• 1 Речовий логарифм
  • 1.1 Властивості
  • 1.2 Логарифмічна функція
  • 1.3 Натуральні логарифми
  • 1.4 Десятні логарифми
• 2 Комплексний логарифм
  • 2.1 Визначення та властивості
  • 2.2 Приклади
  • 2.3 Аналітичне продовження
  • 2.4 Ріманова поверхня
• 3 Історичний нарис
  • 3.1 Речовий логарифм
  • 3.2 Комплексний логарифм
• 4 Логарифмічні таблиці
• 5 Програми
Література
Примітки

Вступ

Рис. 1. Графіки логарифмічних функцій

Логарі́фм числа bна підставі a (Від грец. λόγος - «слово», «ставлення» та ἀριθμός - «число») визначається як показник ступеня, в який треба звести підставу a, щоб отримати число b. Позначення: . З визначення слідує, що записи і рівносильні.

Наприклад, , тому що .

1. Речовий логарифм

Логарифм речового числа log a bмає сенс при . Як відомо, показова функція y = a x монотонна і кожне значення набуває лише один раз, причому діапазон її значень містить усі позитивні речові числа. Звідси випливає, що значення речовинного логарифму позитивного числа завжди існує і визначено однозначно.

Найширше застосування знайшли такі види логарифмів.

1.1. Властивості

Доказ

Доведемо, що .

(оскільки за умовою bc > 0). ■

Доказ

Доведемо, що

(оскільки за умовою ■

Доказ

Використовуємо для доказу тотожність. Логарифмуємо обидві частини тотожності на підставі с. Отримуємо:

Доказ

Доведемо, що .

(так як b p> 0 за умовою). ■

Доказ

Доведемо, що

Доказ

Логарифмуємо ліву та праву частини з основи c :

Ліва частина: Права частина:

Рівність виразів очевидна. логарифми рівні, то в силу монотонності логарифмічної функції рівні і самі вирази. ■

1.2. Логарифмічна функція

Якщо розглядати число, що логарифмується як змінну, ми отримаємо логарифмічну функцію y= log a x (Див. рис. 1). Вона визначена за . Область значень: .

Функція є строго зростаючою при a> 1 і строго спадаючою при 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Пряма x= 0 є лівою вертикальною асимптотою, оскільки при a> 1 та при 0< a < 1 .

Похідна логарифмічна функція дорівнює:

Доказ

I. Доведемо, що

Запишемо тотожність e ln x = x і продиференціюємо його ліву та праву частини

Отримуємо, що , звідки випливає, що

ІІ. Доведемо, що

Логарифмічна функція здійснює ізоморфізм мультиплікативної групи позитивних дійсних чисел та адитивної групи всіх речових чисел.

1.3. Натуральні логарифми

Зв'язок із десятковим логарифмом: .

Як зазначено вище, для похідної натурального логарифму справедлива проста формула:

Тому в математичних дослідженнях переважно використовують саме натуральні логарифми. Вони нерідко виникають під час вирішення диференціальних рівнянь, дослідженні статистичних залежностей (наприклад, розподілу простих чисел) тощо.

Невизначений інтеграл від натурального логарифму легко знайти інтегруванням частинами:

Розкладання в ряд Тейлора може бути представлене таким чином:
при справедливій рівності

(1)

Зокрема,

Цей ряд сходиться швидше, крім того, ліва частина формули тепер може висловити логарифм будь-якого позитивного числа.

1.4. Десятні логарифми

Рис. 2а. Логарифмічна шкала

Рис. 2б. Логарифмічна шкала з позначеннями

Логарифми на підставі 10 (позначення: lg a) до винаходу калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Нерівномірна шкала десяткових логарифмів зазвичай наноситься на логарифмічні лінійки. Подібна шкала використовується в багатьох галузях науки, наприклад:

• Фізика – інтенсивність звуку (децибели).
• Астрономія – шкала яскравості зірок.
• Хімія – активність водневих іонів (pH).
• Сейсмологія – шкала Ріхтера.
• Теорія музики - нотна шкала, стосовно частот нотних звуків.
• Історія – логарифмічна шкала часу.

Логарифмічна шкала також широко застосовується для виявлення показника ступеня у статечних залежностях та коефіцієнта у показнику експоненти. При цьому графік, побудований в логарифмічному масштабі по одній або двох осях, набуває вигляду прямий, більш простий для дослідження.

2. Комплексний логарифм

2.1. Визначення та властивості

Для комплексних чисел логарифм визначається як і, як речовий. На практиці використовується майже виключно натуральний комплексний логарифм, який позначимо та визначимо як безліч усіх комплексних чисел zтаких, що e z = w . Комплексний логарифм існує для будь-якого, і його речова частина визначається однозначно, у той час як уявна має безліч значень. Тому його називають багатозначною функцією. Якщо уявити wу показовій формі:

,

то логарифм знаходиться за формулою:

Тут - речовий логарифм, r = | w | , k- довільне ціле число. Значення, що отримується при k= 0 називається головним значеннямкомплексного натурального логарифму; прийнято брати в ньому значення аргументу в інтервалі (− π,π] . Відповідна (вже однозначна) функція головною гілкоюлогарифма і позначається. Іноді також позначають значення логарифму, що лежить не на головній гілки.

З формули випливає:

• Речовина логарифма визначається за формулою:

• Логарифм від'ємного числа знаходиться за формулою:

Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою (формула Ейлера), комплексний логарифм як зворотна до експоненти функція пов'язаний зі зворотними тригонометричними функціями. Приклад такого зв'язку:

2.2. Приклади

Наведемо головне значення логарифму для деяких аргументів:

Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилкового міркування:

iπ = ln(−1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - явна безглуздість.

Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифму, а праворуч - значення нижчої гілки ( k= − 1). Причина помилки - необережне використання властивості, яке, взагалі кажучи, має на увазі у комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифму, а не лише головне значення.

2.3. Аналітичне продовження

Рис. 3. Комплексний логарифм (уявна частина)

Логарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження речового логарифму всю комплексну площину. Нехай крива Γ починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає негативну частину речової осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці wкривою Γ можна визначити за формулою:

Якщо Γ - проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що на ній лежать, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад

Якщо дозволити кривою Γ перетинати негативну частину речовинної осі, то перше таке перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілка, а кожне наступне перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (див. малюнок).

З формули аналітичного продовження слід, що у будь-якій гілки логарифма

Для будь-якого кола S, що охоплює точку 0:

Інтеграл береться у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки). Це тотожність лежить в основі теорії відрахувань.

Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифму за допомогою наведеного вище ряду (1), узагальненого на випадок комплексного аргументу. Проте з виду розкладання слід, що у одиниці він дорівнює нулю, тобто ряд належить лише головної гілки багатозначної функції комплексного логарифма.

2.4. Ріманова поверхня

Комплексна логарифмічна функція – приклад ріманової поверхні; її уявна частина (рис. 3) складається з нескінченного числа гілок, закручених як спіралі. Ця поверхня однозв'язна; її єдиний нуль (першого порядку) виходить за z= 1 , особливі точки: z= 0 (точки розгалуження нескінченного порядку).

Ріманова поверхня логарифму є універсальною накриваючою для комплексної площини без точки 0 .

3. Історичний нарис

3.1. Речовий логарифм

Потреба у складних розрахунках у XVI столітті швидко зростала, і значної частини труднощів пов'язані з множенням і розподілом багатозначних чисел, і навіть вилученням коренів. Наприкінці століття кільком математикам, майже одночасно, спала на думку ідея: замінити трудомістке множення на просте додавання, зіставивши за допомогою спеціальних таблиць геометричну та арифметичну прогресії, при цьому геометрична буде вихідною. Тоді і розподіл автоматично замінюється на незмірно більш просте і надійне віднімання, а вилучення кореня ступеня nзводиться до поділу логарифму підкореного виразу на n. Першим цю ідею опублікував у своїй книзі « Arithmetica integraМіхаель Штіфель, який, втім, не доклав серйозних зусиль для реалізації своєї ідеї.

У 1614 році шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував латинською мовою твір під назвою « Опис дивовижної таблиці логарифмів»(Лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). У ньому був короткий опис логарифмів та їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів синусів, косінусів та тангенсів, з кроком 1". Термін логарифм, Запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав у іншій книзі « Побудова дивовижної таблиці логарифмів»(Лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), виданої посмертно у 1619 році його сином.

Поняття функції тоді ще не було, і Непер визначив логарифм кінематично, зіставивши рівномірний та логарифмічно-уповільнений рух; наприклад, логарифм синуса він визначив таким чином:

Логарифм даного синуса є число, яке арифметично зростало завжди з тією ж швидкістю, з якою повний синус почав геометрично зменшуватися.

У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити диференціальним рівнянням: dx/x=-dy/Mде M - масштабний множник, введений для того, щоб значення вийшло цілим числом з необхідною кількістю знаків (десяткові дроби тоді ще не знайшли широкого застосування). Непер взяв M=10000000.

Строго кажучи, Непер табулював не ту функцію, яка зараз називається логарифмом. Якщо позначити його функцію LogNap(x), вона пов'язана з натуральним логарифмом так:

Очевидно, LogNap(M) = 0, тобто логарифм "повного синуса" є нуль - цього і домагався Непер своїм визначенням. .

Основна властивість логарифму Непера: якщо величини утворюють геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють арифметичну прогресію. Проте правила логарифмування для неперової функції відрізнялися від правил сучасного логарифму.

Наприклад, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

На жаль, усі значення таблиці Непера містили обчислювальну помилку після шостого знака. Однак це не завадило новій методиці обчислень здобути найширшу популярність, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математиків, включаючи Кеплера. Вже через 5 років, 1619 р., лондонський вчитель математики Джон Спайделл ( John Speidell) перевидав таблиці Непера, перетворені отже вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів (хоча масштабування до цілих чисел Спайделл зберіг). Термін «натуральний логарифм» запропонував італійський математик П'єтро Менголі. Pietro Mengoli)) у середині XVI століття.

У 1620-ті роки Едмунд Уінгейт і Вільям Відред винайшли першу логарифмічну лінійку, до появи кишенькових калькуляторів – незамінний інструмент інженера.

Близьке до сучасного розуміння логарифмування - як операції, зворотній зведенню в ступінь - вперше з'явилося у Валліса та Йоганна Бернуллі, а остаточно було узаконено Ейлером у XVIII столітті. У книзі «Введення в аналіз нескінченних» (1748) Ейлер дав сучасні визначення як показової, так і логарифмічної функцій, навів розкладання їх у статечні лави, особливо наголосив на ролі натурального логарифму.

Ейлеру належить і досягнення поширення логарифмічної функції на комплексну область.

3.2. Комплексний логарифм

Перші спроби розповсюдити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц та Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося - насамперед з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначено саме поняття логарифму. Дискусія з цього приводу велася спочатку між Лейбніцем та Бернуллі, а в середині XVIII століття – між Даламбером та Ейлером. Бернуллі та Даламбер вважали, що слід визначити log(-x) = log(x). Повна теорія логарифмів негативних та комплексних чисел була опублікована Ейлером у 1747-1751 роках та по суті нічим не відрізняється від сучасної.

Хоча суперечка тривала (Даламбер відстоював свою думку і докладно аргументував їх у статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), думка Ейлера швидко отримала загальне визнання.

4. Логарифмічні таблиці

Логарифмічні таблиці

З властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел досить знайти (за таблицями) і скласти їх логарифми, а потім за тими самими таблицями виконати потенціювання, тобто знайти значення результату з його логарифму. Виконання розподілу відрізняється лише тим, що логарифми віднімаються. Лаплас говорив, що винахід логарифмів "продовжило життя астрономів", багаторазово прискоривши процес обчислень.

При перенесенні десяткової коми в числі на nрозрядів значення десяткового логарифму цього числа змінюється на n. Наприклад, lg8314,63 = lg8,31463+3. Звідси випливає, що достатньо скласти таблицю десяткових логарифмів для чисел у діапазоні від 1 до 10.

Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер (1614), і вони містили лише логарифми тригонометричних функцій, причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував Іост Бюргі, друг Кеплера (1620). В 1617 оксфордський професор математики Генрі Брігс опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми самих чисел, від 1 до 1000, з 8 (пізніше - з 14) знаками. Але й у таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Вега (1783) з'явилося лише у 1857 році у Берліні (таблиці Бремівера).

У Росії її перші таблиці логарифмів було видано 1703 року з участю Л. Ф. Магницкого. У СРСР випускалося кілька збірників таблиць логарифмів.

• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці. 44-те видання, М., 1973.

Таблиці Брадіса (1921) використовувалися у навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не потребують великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел та тригонометричних функцій, натуральні логарифми та деякі інші корисні розрахункові інструменти.

• Вега Г.Таблиці семизначних логарифмів, 4-те видання, М., 1971.

Професійна збірка для точних обчислень.

• П'ятизначні таблиці натуральних значень тригонометричних величин, їх логарифмів та логарифмів чисел, 6 видавництво, М.: Наука, 1972.
• Таблиці натуральних логарифмів, 2-ге видання, у 2 томах, М: Наука, 1971.

В даний час з поширенням калькуляторів необхідність використання таблиць логарифмів відпала.

М, Особливість (комплексний аналіз).

Наведено основні властивості логарифму, графік логарифму, область визначення, безліч значень, основні формули, зростання та спадання. Розглянуто знаходження похідної логарифму. А також інтеграл, розкладання в статечний ряд та уявлення за допомогою комплексних чисел.

Зміст

Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Логарифм є монотонною функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості логарифму представлені у таблиці.

Область визначення	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значень	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	x = 1	x = 1
Крапки перетину з віссю ординат, x = 0	ні	ні
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Приватні значення

Логарифм на підставі 10 називається десятковим логарифмомі позначається так:

Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом:

Основні формули логарифмів

Властивості логарифму, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Логарифмування – це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників перетворюються на суми членів.
Потенціювання - це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів перетворюються на твори співмножників.

Доказ основних формул логарифмів

Формули, пов'язані з логарифмами випливають із формул для показових функцій та визначення зворотної функції.

Розглянемо властивість показової функції
.
Тоді
.
Застосуємо якість показової функції
:
.

Доведемо формулу заміни основи.
;
.
Вважаючи c = b маємо:

Зворотна функція

Зворотною для логарифму на основі a є показова функція з показником ступеня a .

Якщо то

Якщо то

Похідна логарифма

Похідна логарифма від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Для знаходження похідної логарифму його потрібно призвести до основи e.
;
.

Інтеграл

Інтеграл від логарифму обчислюється інтегруванням частинами: .
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
.
Виразимо комплексне число zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Тоді, використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або

Проте, аргумент φ визначено не однозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде одним і тим же числом за різних n.

Тому логарифм, як функція від комплексного змінного, не є однозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також: