Довжина вектора, кут між векторами – ці поняття є природно-застосовними та інтуїтивно зрозумілими щодо вектора як відрізка певного напрями. Нижче навчимося визначати кут між векторами у тривимірному просторі, його косинус та розглянемо теорію на прикладах.

Для розгляду поняття кута між векторами звернемося до графічної ілюстрації: поставимо на площині або в тривимірному просторі два вектори a → та b → , що є ненульовими. Задамо також довільну точку O та відкладемо від неї вектори O A → = b → та O B → = b →

Визначення 1

Кутомміж векторами a → і b → називається кут між променями ПРО і ПРО.

Отриманий кут позначатимемо таким чином: a → , b → ^

Очевидно, що кут має можливість набувати значень від 0 до π або від 0 до 180 градусів.

a → , b → ^ = 0 коли вектори є сонаправленными і a → , b → ^ = π , коли вектори протилежно спрямовані.

Визначення 2

Вектори називаються перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює 90 градусів або π 2 радіан.

Якщо хоча б один із векторів є нульовим, то кут a → , b → ^ не визначено.

Косинус кута між двома векторами, а отже, і власне кут, зазвичай може бути визначений або за допомогою скалярного твору векторів, або за допомогою теореми косінусів для трикутника, побудованого на основі двох даних векторів.

Відповідно до визначення скалярний твір є a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Якщо задані вектори a → та b → ненульові, то можемо розділити праву та ліву частини рівності на добуток довжин цих векторів, отримуючи таким чином формулу для знаходження косинуса кута між ненульовими векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Ця формула використовується, коли серед вихідних даних є довжини векторів та його скалярне твір.

Приклад 1

Вихідні дані: вектори a → та b → . Довжини їх рівні 3 і 6 відповідно, які скалярне твір дорівнює - 9 . Необхідно обчислити косинус кута між векторами та знайти сам кут.

Рішення

Вихідних даних достатньо, щоб застосувати отриману вище формулу, тоді cos a → , b → ^ = - 9 3 · 6 = - 1 2 ,

Тепер визначимо кут між векторами: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Відповідь: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Найчастіше зустрічаються завдання, де вектори задаються координатами прямокутної системі координат. Для таких випадків необхідно вивести ту саму формулу, але в координатній формі.

Довжина вектора визначається як корінь квадратний із суми квадратів його координат, а скалярний добуток векторів дорівнює сумі творів відповідних координат. Тоді формула для знаходження косинуса кута між векторами на площині a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для знаходження косинуса кута між векторами в тривимірному просторі a → = (ax , ay , az) , b → = (bx , by , bz) матиме вигляд: cos a → , b → ^ = ax · bx + ay · by + az · bzax 2 + ay 2 + az 2 · bx 2 + by 2 + bz 2

Приклад 2

Вихідні дані: вектори a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) у прямокутній системі координат. Потрібно визначити кут між ними.

Рішення

1. Для вирішення задачі можемо одразу застосувати формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = arc cos (-170) = - arc cos 170

1. Також можна визначити кут за формулою:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

але попередньо розрахувати довжини векторів та скалярний твір за координатами: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = - 1 5 · 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - arc cos 1 70

Відповідь: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Також поширені завдання, коли задані координати трьох точок у прямокутній системі координат і необхідно визначити якийсь кут. І тоді, для того, щоб визначити кут між векторами із заданими координатами точок, необхідно обчислити координати векторів у вигляді різниці відповідних точок початку та кінця вектора.

Приклад 3

Вихідні дані: на площині в прямокутній системі координат задані точки A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2). Необхідно визначити косинус кута між векторами A C → B C → .

Рішення

Знайдемо координати векторів за координатами заданих точок A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Тепер використовуємо формулу для визначення косинуса кута між векторами на площині в координатах: cos AC → BC → ^ = (AC → BC →) AC → BC → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 + (-1) 2 · 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Відповідь: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Кут між векторами можна визначити за теоремою косінусів. Відкладемо від точки O вектори O A → = a → і O B → = b → тоді, згідно з теоремою косінусів у трикутнику ОАВ, буде вірною рівність:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

що рівносильно:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 · a → · b → · cos (a → , b →) ^

і звідси виведемо формулу косинуса кута:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → · b →

Для застосування отриманої формули нам потрібні довжини векторів, які нескладно визначаються за їх координатами.

Хоча зазначений спосіб має місце, все ж таки частіше застосовують формулу:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → · b →

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ωn = υ 2

Підставляючи в цей вираз υ з (10.9), знаходимо, що

ωn = ω2 R

Модуль тангенціального прискорення відповідно до (9.8) дорівнює

знову рівнянням (10.9), отримуємо:

(ω R)

t→ 0

t→ 0

t→ 0

t→ 0

ωτ = βR

(10.10) d dt? Скориставшись

R β,

Отже, як нормальне, і тангенціальне прискорення зростає лінійно з R - відстанню точки від осі обертання.

§11. Зв'язок між векторами v та ω

Крім розглянутих раніше операцій складання та віднімання векторів, а також множення вектора на скаляр (див. §2), існують також операції перемноження векторів. Два вектори можна помножити один на одного двома способами: перший спосіб дає в результаті деякий новий вектор, другий призводить до скалярної величини. Зазначимо, що операції розподілу вектора на вектор немає.

Зараз ми розглянемо секторний витвір векторів. Скалярний добуток векторів ми введемо пізніше, коли він знадобиться.

Векторним твором двох векторів А і В називається вектор З, що володіє такими властивостями:

1) модуль вектора З дорівнює добутку модулів векторів, що перемножуються, на синус кута α між ними (рис 35):

2) вектор С перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори А і В, причому напрямок його пов'язаний з напрямками А і В за правилом правого гвинта: якщо дивитися вслід за вектором С, го скоєний по найкоротшому шляху поворот від першого співмножника до другого здійснюється за годинниковою стрілки.

Символічно векторний твір можна записати двома способами: | AB | або A×B.

Ми будемо користуватися першим із цих способів, причому іноді для полегшення читання формул будемо ставити кому між співмножниками. Не слід застосовувати одночасно косий хрест та квадратні дужки: [А×В], Неприпустимий запис такого виду: [АВ]=ABsinα. Зліва тут стоїть вектор, праворуч - модуль цього вектора, тобто скаляр. Справедлива наступна рівність:

| [AB] |= ABsin α.

Оскільки напрямок векторного твору визначається напрямком обертання від першого співмножника до другого, результат векторного перемноження двох векторів залежить від порядку співмножників. Зміна порядку співмножників викликає зміну напрямку результуючого вектора на протилежне (рис. 35)

= −

B×A = − (A×B).

Таким чином, векторний твір не має властивості комутативності. Можна довести, що векторний твір дистрибутивний, тобто що

[A, (B1 + B2 + ... + BN)] = [AB1] + [AB2] + ... + [ABN].

Векторна робота двох полярних або двох аксіальних векторів є аксіальний вектор. Векторний добуток аксіального вектора на полярний (або навпаки) буде, однак, полярним вектором. Зміна умови, що визначає напрямок аксіальних векторів, на зворотне призведе в цьому випадку до зміни знака перед векторним добутком і одночасно до зміни знака перед одним із співмножників, У результаті величина, що виражається векторним добутком залишається без змін.

Модулю векторного твору можна дати просту геометричну інтерпретацію: вираз ABsinα чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах А та В (рис. 36; вектор С=[АВ] спрямований у цьому випадку перпендикулярно до площини креслення, за креслення).

Нехай вектори А та В взаємно перпендикулярні (рис. 37).

1) , і утворює з

Утворимо подвійне векторне твір цих векторів:

D = A, [BA],

тобто помножимо вектор на А, а потім помножимо вектор А на вектор, що вийшов в результаті першого множення. Вектор [ВА] має модуль, що дорівнює BA(sin α = sin π 2

векторами А та B кути, рівні π/2. Отже, модуль вектора D дорівнює |A|*||=A*BA=A2 B. Напрямок вектора D, як легко бачити з рис. 37, збігається з напрямком вектора В. Це дає нам підставу написати таку рівність:

			A2 B.

Формулою (11.3) ми надалі користуватимемося неоднотратно. Підкреслимо, що вона справедлива лише в тому випадку, коли вектори А та В взаємно перпендикулярні.

Рівняння (10.9) встановлює зв'язок між модулями векторів v та ω. За допомогою векторного твору може бути написано вираз, що дає співвідношення між самими векторами. Нехай тіло обертає навколо осі z із кутовою швидкістю ω (рис. 38). Jleгко бачити, що векторний добуток ω на радіус-вектор точки, швидкість v якої ми хочемо знайти, являє собою вектор, що збігається у напрямку з вектором v і має модуль, рівний ωr sinα=ωR, тобто. v [див. формулу (10.9)]. Таким чином, векторний добуток [ωR] і за напрямом і модулем дорівнює вектору v.

Нехай V – n-мірний векторний простір, в якому задані два базиси: e 1 , e 2 , …, e n- Старий базис, e" 1 , e" 2 , …, e"n- Новий базис. У довільного вектора aє координати у кожному з них:

a= a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n;

a= a" 1 e"1+a" 2 e" 2 + … + a" n e"n.

Щоб встановити зв'язок між стовпцями координат вектора aу старому та новому базисах, треба розкласти вектори нового базису за векторами старого базису:

e 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n 1 e n,

e 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n 2 e n,

………………………………..

e"n= a 1 n e 1 + a 2 n e 2 + … + a nn e n.

Визначення 8.14. Матрицею переходу від старого базису до нового базисуназивається матриця, складена з координат векторів нового базису щодо старого базису, записаних стовпці, тобто.

Стовпці матриці T– це координати базисних, отже, лінійно незалежних, векторів, отже, ці стовпці лінійно незалежні. Матриця з лінійно незалежними стовпцями є невиродженою, її визначник не дорівнює нулю і для матриці Tіснує зворотна матриця T –1 .

Позначимо стовпці координат вектора aу старому та новому базисах, відповідно, як a] та [ a]". За допомогою матриці переходу встановлюється зв'язок між [ a] та [ a]".

Теорема 8.10.Стовпець координат вектора aу старому базисі дорівнює добутку матриці переходу на стовпець координат вектора aу новому базисі, тобто [ a] = T[a]".

Слідство. Стовпець координат вектора aу новому базисі дорівнює добутку матриці, зворотній матриці переходу, на стовпець координат вектора aу старому базисі, тобто [ a]" = T –1 [a].

Приклад 8.8.Скласти матрицю переходу від базису e 1 , e 2 , до базису e" 1 , e 2 , де e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2 і знайти координати вектора a = 2e" 1 – 4e 2 у старому базисі.

Рішення. Координатами нових базисних векторів щодо старого базису є рядки (3, 1) та (5, 2), тоді матриця Tнабуде вигляду. Так як [ a]" = , то [ a] = × = .

Приклад 8.9.Дано два базиси e 1 , e 2 - старий базис, e" 1 , e 2 - новий базис, причому e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2 . Знайти координати вектора a = 2e 1 – e 2 у новому базисі.

Рішення. 1 спосіб. За умовами дані координати вектора ау старому базисі: [ a] =. Знайдемо матрицю переходу від старого базису e 1 , e 2 до нового базису e" 1 , e 2. Отримаємо матрицю Т= для неї знайдемо зворотну матрицю T-1 = . Тоді згідно з слідством з теореми 8.10 маємо [ a]" = T –1 [a] = × = .

2 спосіб.Так як e" 1 , e 2 базис, то вектор арозкладається за базовими векторами наступним чином a = k 1 e" 1 – k 2 e 2. Знайдемо числа k 1 та k 2 – це і будуть координати вектора ау новому базисі.

a = k 1 e" 1 – k 2 e" 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =

= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .

Оскільки координати однієї й тієї ж вектора у даному базисі визначається однозначно, маємо систему: Вирішуючи цю систему, отримаємо k 1 = 9 та k 2 = -5, т. о. [ a]" = .

У цій статті ми з тобою почнемо обговорення однієї палички-виручалочки, яка дозволить тобі звести багато завдань з геометрії до простої арифметики. Ця «паличка» може суттєво полегшити тобі життя особливо у тому випадку, коли ти невпевнено почуваєшся у побудові просторових постатей, перерізів тощо. буд. Усе це вимагає певної уяви та практичних навичок. Метод же, який ми тут почнемо розглядати, дозволить тобі практично повністю абстрагуватися від різноманітних геометричних побудов і міркувань. Метод зветься "метод координат". У цій статті ми з тобою розглянемо такі питання:

1. Координатна площина
2. Точки та вектори на площині
3. Побудова вектора за двома точками
4. Довжина вектора (відстань між двома точками)
5. Координати середини відрізка
6. Скалярний добуток векторів
7. Кут між двома векторами

Я гадаю, ти вже здогадався, чому метод координат так називається? Правильно, він отримав таку назву, тому що він оперує не з геометричними об'єктами, а з їх числовими характеристиками (координатами). А саме перетворення, що дозволяє перейти від геометрії до алгебри, полягає у запровадженні системи координат. Якщо вихідна фігура була плоскою, координати двомірні, а якщо фігура об'ємна, то координати тривимірні. У цій статті ми розглядатимемо лише двовимірний випадок. А основна мета статті - навчити тебе користуватися деякими базовими прийомами методу координат (вони іноді виявляються корисними під час вирішення завдань із планіметрії у частині B ЄДІ). Обговоренню методів вирішення завдань С2 (завдання по стереометрії) присвячені наступні два розділи з цієї тематики.

З чого було б логічно розпочати обговорення методу координат? Напевно, із поняття системи координат. Згадай, коли ти з нею вперше зіткнувся. Мені здається, що у 7 класі, коли ти дізнався про існування лінійної функції, наприклад. Нагадаю, ти будував її за точками. Пам'ятаєш? Ти вибирав довільне число, підставляв її у формулу та обчислював таким чином. Наприклад, якщо, то, якщо ж, те й т.д. Що ж ти отримував у результаті? А отримував ти крапки з координатами: і. Далі ти малював «хрестик» (систему координат), вибирав на ній масштаб (скільки клітинок у тебе буде одиничним відрізком) і відзначав на ній отримані тобою точки, які потім поєднував прямою лінією, отримана лінія і є графік функції.

Тут є кілька моментів, які варто пояснити тобі докладніше:

1. Одиничний відрізок ти вибираєш з міркувань зручності, так, щоб все красиво та компактно вміщувалося на малюнку

2. Прийнято, що вісь йде зліва направо, а вісь - знизу вгору

3. Вони перетинаються під прямим кутом, а точка їхнього перетину називається початком координат. Вона позначається літерою.

4. У записі координати точки, наприклад, ліворуч у дужках стоїть координата точки по осі, а праворуч, по осі. Зокрема, просто означає, що у точки

5. Для того, щоб задати будь-яку точку на координатній осі, потрібно вказати її координати (2 числа)

6. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

7. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

8. Вісь називається віссю абсцис

9. Вісь називається віссю ординат

Тепер давай з тобою зробимо наступний крок: позначимо дві точки. З'єднаємо ці дві точки відрізком. І поставимо стрілочку так, ніби ми проводимо відрізок з точки до точки: тобто зробимо наш відрізок спрямованим!

Згадай, як називається спрямований відрізок? Мабуть, він називається вектором!

Таким чином, якщо ми з'єднаємо точку з точкою, причому початком у нас буде точка A, а кінцем - точка B,ми отримаємо вектор. Цю побудову ти теж робив у 8 класі, пам'ятаєш?

Виявляється, вектори, як точки, можна позначати двома цифрами: ці цифри називаються координатами вектора. Питання: як ти думаєш, чи достатньо нам знати координати початку та кінця вектора, щоб знайти його координати? Виявляється, що так! І робиться це дуже просто:

Таким чином, так як у векторі точка - початок, а - кінець, вектор має наступні координати:

Наприклад, якщо, то координати вектора

Тепер давай зробимо навпаки, знайдемо координати вектора. Що нам для цього треба змінити? Так, потрібно поміняти місцями початок і кінець: тепер початок вектора буде у точці, а кінець – у точці. Тоді:

Подивися уважно, чим відрізняються вектори та? Єдина їхня відмінність - це знаки в координатах. Вони протилежні. Цей факт прийнято записувати так:

Іноді, якщо не обговорюється спеціально, яка точка є початком вектора, а яка - кінцем, то вектори позначають не двома великими літерами, а однією рядковою, наприклад: , і т.д.

Тепер трохи потренуйсясам і знайди координати наступних векторів:

Перевірка:

А тепер розв'яжи завдання трохи складніше:

Век-тор з початком у точці має ко-ор-ді-на-ти. Знайди абс-цис-су точки.

Все те ж таки досить прозаїчне: Нехай - координати точки. Тоді

Систему я склав визначення того, що таке координати вектора. Тоді точка має координати. Нас цікавить абсцис. Тоді

Відповідь:

Що ще можна робити із векторами? Та майже все те саме, що і зі звичайними числами (хіба що ділити не можна, зате множити можна аж двома способами, один з яких ми тут обговоримо трохи пізніше)

1. Вектори можна складати один з одним
2. Вектори можна віднімати один з одного
3. Вектори можна множити (або ділити) на довільне ненульове число
4. Вектори можна множити один на одного

Всі ці операції мають цілком наочне геометричне уявлення. Наприклад, правило трикутника (або паралелограма) для складання та віднімання:

Вектор розтягується або стискається або змінює напрямок при множенні або розподілі на число:

Однак тут нас цікавитиме питання, що ж відбувається з координатами.

1. При складанні (відніманні) двох векторів, ми складаємо (віднімаємо) поелементно їх координати. Тобто:

2. При множенні (розподілі) вектора на число всі його координати множаться (діляться) на це число:

Наприклад:

· Знайди суму ко-ор-ді-нат вік-то-ра.

Давай спочатку знайдемо координати кожного вектора. Обидва вони мають однаковий початок – точку початку координат. Кінці у них різні. Тоді, . Тепер обчислимо координати вектора. Тоді сума координат отриманого вектора дорівнює.

Відповідь:

Тепер розв'яжи сам наступне завдання:

· Знайти суму координат вектора

Перевіряємо:

Давайте розглянемо тепер таке завдання: у нас є дві точки на координатній площині. Як знайти відстань між ними? Нехай перша точка буде, а друга. Позначимо відстань між ними через. Давай зробимо для наочності наступне креслення:

Що я зробив? Я, по-перше, з'єднав точки і, а також з точки провів лінію, паралельну осі, а з точки провів лінію, паралельну осі. Вони перетнулися в точці, утворивши при цьому чудову фігуру? Чим вона чудова? Та ми з тобою майже всі знаємо про прямокутний трикутник. Ну вже теорему Піфагора – точно. Шуканий відрізок – це гіпотенуза цього трикутника, а відрізки – катети. Чому рівні координати точки? Так, їх нескладно знайти за картинкою: Так як відрізки паралельні осям і відповідно, то їх довжини легко знайти: якщо позначити довжини відрізків відповідно через, то

Тепер скористаємося теоремою Піфагора. Довжини катетів нам відомі, гіпотенузу ми знайдемо:

Таким чином, відстань між двома точками - це корінь із суми квадратів різниць із координат. Або ж - відстань між двома точками - це довжина відрізка, що їх сполучає. Легко помітити, що відстань між крапками не залежить від напрямку. Тоді:

Звідси робимо три висновки:

Давай трохи повправляємось у обчисленні відстані між двома точками:

Наприклад, якщо, то відстань між і одно

Або підемо інакше: знайдемо координати вектора

І знайдемо довжину вектора:

Як бачиш, одне й те саме!

Тепер трохи потренуйся сам:

Завдання: знайти відстань між вказаними точками:

Перевіряємо:

Ось ще пара задач на ту ж формулу, щоправда звучать вони трохи інакше:

1. Знай-ді-те квадрат довжини вік-то-ра.

2. Знай-ді-те квадрат довжини вік-то-ра

Я так думаю, ти з ними легко справився? Перевіряємо:

1. А це на пильність) Ми вже знайшли координати векторів і раніше: . Тоді вектор має координати. Квадрат його довжини дорівнюватиме:

2. Знайдемо координати вектора

Тоді квадрат його довжини дорівнює

Нічого складного, правда? Звичайна арифметика, не більше.

Наступні завдання не можна однозначно класифікувати, вони скоріш загальну ерудицію і вміння малювати простенькі картинки.

1. Знайди синус кута на-кло-на від-різ-ка, з-є-ня-ю-ще-го точки, з віссю абсцис.

і

Як ми будемо чинити тут? Потрібно знайти синус кута між і віссю. А де ми вміємо шукати синусу? Правильно, у прямокутному трикутнику. То що нам потрібно зробити? Побудувати цей трикутник!

Оскільки координати точки і то відрізок дорівнює, а відрізок. Нам потрібно знайти синус кута. Нагадаю тобі, що синус – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, тоді

Що нам лишилося зробити? Знайти гіпотенузу. Ти можеш зробити це двома способами: за теоремою Піфагора (катети відомі!) або за формулою відстані між двома точками (насправді одне й те саме, що й перший спосіб!). Я піду другим шляхом:

Відповідь:

Наступне завдання здасться тобі ще простіше. Вона – на координати точки.

Завдання 2.З точки опущений пер-пен-ді-куляр на вісь абс-цис. Знайди абс-цис-су ос-но-ва-ня пер-пен-ді-ку-ля-ра.

Давай зробимо малюнок:

Підстава перпендикуляра - це та точка, в якій він перетинає вісь абсцис (вісь), у мене це точка. На малюнку видно, що має координати: . Нас цікавить абсцисса – тобто «іксова» складова. Вона дорівнює.

Відповідь: .

Завдання 3.У разі попереднього завдання знайти суму відстаней від точки до осей координат.

Завдання взагалі елементарне, якщо знати, що таке відстань від точки до осей. Ти знаєш? Я сподіваюся, але все ж таки нагадаю тобі:

Отже, на моєму малюнку, розташованому трохи вище, я вже змалював такий перпендикуляр? До якої він осі? До осі. І чому ж дорівнює його довжина? Вона дорівнює. Тепер сам проведи перпендикуляр до осі та знайди його довжину. Вона дорівнюватиме, адже так? Тоді їхня сума дорівнює.

Відповідь: .

Завдання 4.В умовах задачі 2, знайдіть ординату точки, симетричної точки щодо осі абсцис.

Я думаю, тобі інтуїтивно зрозуміло, що таке симетрія? Дуже багато об'єктів нею мають: багато будинків, столів, літаків, багато геометричних фігур: кулю, циліндр, квадрат, ромб і т. д. Грубо кажучи, симетрію можна розуміти ось як: фігура складається з двох (або більше) однакових половинок. Така симетрія називається осьовою. А що тоді таке вісь? Це якраз та лінія, за якою фігуру можна, умовно кажучи, «розрізати» на однакові половинки (на цій картинці вісь симетрії - пряма):

Тепер давай повернемося до нашого завдання. Нам відомо, що ми шукаємо точку, симетричну щодо осі. Тоді ця вісь – вісь симетрії. Отже, нам треба зазначити таку точку, щоб вісь розрізала відрізок на рівні частини. Спробуй сам відзначити таку точку. А тепер порівняй із моїм рішенням:

У тебе вийшло так само? Добре! У знайденої точки нас цікавить ордината. Вона дорівнює

Відповідь:

А тепер скажи мені, подумавши секунд, чому дорівнюватиме абсцис точки, симетричній точці A щодо осі ординат? Яка твоя відповідь? Правильну відповідь: .

У загальному випадку правило можна записати так:

Крапка, симетрична точці щодо осі абсцис, має координати:

Крапка, симетрична точці щодо осі ординат, має координати:

Ну і тепер дуже страшна завдання: знайти координати точки, симетричної точки щодо початку координат. Ти спочатку подумай сам, а потім глянь на мій малюнок!

Відповідь:

Тепер Завдання на паралелограм:

Завдання 5: Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми парал-ле-ло-ло-грам-ма. Знайди ор-ді-на-ту точки.

Можна вирішувати це завдання двома способами: логікою та методом координат. Я спочатку застосую метод координат, а потім розповім тобі, як вирішити інакше.

Цілком ясно, що абсцисса точки дорівнює. (Вона лежить на перпендикулярі, проведеній з точки до осі абсцис). Нам слід знайти ординату. Скористаємося тим, що наша фігура – ​​паралелограм, це означає, що. Знайдемо довжину відрізка, використовуючи формулу відстані між двома точками:

Опускаємо перпендикуляр, що сполучає крапку з віссю. Точку перетину позначу літерою.

Довжина відрізка дорівнює. (Знайди саму задачу, де ми обговорювали цей момент), тоді знайдемо довжину відрізка по теоремі Піфагора:

Довжина відрізка - точно збігається з його ординатою.

Відповідь: .

Інше рішення (я просто наведу малюнок, що його ілюструє)

Хід вирішення:

1. Провести

2. Знайти координати точки та довжину

3. Довести, що.

Ще одна Завдання на довжину відрізка:

Крапки яв-ля-ються вер-ши-на-ми трикутники. Знайди довжину його середньої лінії, паралельної.

Ти пам'ятаєш, що таке середня лінія трикутника? Тоді тобі це завдання елементарна. Якщо не пам'ятаєш, то я нагадаю: середня лінія трикутника – це лінія, яка сполучає середини протилежних сторін. Вона паралельна до основи і дорівнює його половині.

Підстава – це відрізок. Його довжину нам доводилося шукати раніше, воно рівне. Тоді довжина середньої лінії вдвічі менша і дорівнює.

Відповідь: .

Коментар: це завдання можна вирішити і в інший спосіб, до якого ми звернемося трохи пізніше.

А поки що - ось тобі кілька завдань, потренуйся на них, вони дуже прості, але допомагають «набивати руку», на використанні способу координат!

1. Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми тра-пе-ції. Знайдіть довжину її середньої лінії.

2. Крапки і яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми парал-ле-ло-грам-ма. Знайди ор-ді-на-ту точки.

3. Знай-ди-те довжину від-різ-ка, з-е-ня-ю-ще-го точки і

4. Знай-ді-те пло-ща за-кра-шен-ної фі-гу-ри на ко-ор-ді-нат-ної плос-ко-сті.

5. Окруж-ність з центром в на-ча-ле ко-ор-ді-нат про-ходить через точку. Знай-діть її ра-ді-вус.

6. Най-ди-те ра-ді-ус коло-но-сті, опи-сан-ної біля пря-мо-кут-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор -ді-на-ти зі-від-віт-ствен-но

Рішення:

1. Відомо, що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ. Основа дорівнює, а підстава. Тоді

Відповідь:

2. Найпростіше вирішити це завдання так: помітити, що (правило паралелограма). Обчислити координати векторів і легко: . При складанні векторів координати складаються. Тоді має координати. Ці координати має і точка, оскільки початок вектора - це точка з координатами. Нас цікавить ордината. Вона дорівнює.

Відповідь:

3. Діємо відразу за формулою відстані між двома точками:

Відповідь:

4. Подивися на картинку і скажи, між якими двома фігурами затиснута заштрихована область? Вона затиснута між двома квадратами. Тоді площа шуканої фігури дорівнює площі великого квадрата мінус площа маленького. Сторона маленького квадрата - це відрізок, що з'єднує точки і його довжина дорівнює

Тоді площа маленького квадрата дорівнює

Так само чинимо і з великим квадратом: його сторона - це відрізок, що з'єднує точки і Його довжина дорівнює

Тоді площа великого квадрата дорівнює

Площа шуканої фігури знайдемо за формулою:

Відповідь:

5. Якщо коло має як центр початок координат і проходить через точку, то її радіус буде точно дорівнює довжині відрізка (зроби малюнок і ти зрозумієш, чому це очевидно). Знайдемо довжину цього відрізка:

Відповідь:

6. Відомо, що радіус описаного біля прямокутника кола дорівнює половині його діагоналі. Знайдемо довжину будь-якої з двох діагоналей (адже у прямокутнику вони рівні!)

Відповідь:

Ну що, ти справився з усім? Було не дуже складно розібратися, адже так? Правило тут одне – вміти зробити наочну картинку і просто «рахувати» з неї всі дані.

Нам лишилося зовсім небагато. Є ще буквально два моменти, які мені хотілося б обговорити.

Давай спробуємо вирішити ось таке нехитре завдання. Нехай дані дві точки в. Знайти координати середини відрізка. Розв'язання цього завдання таке: нехай точка - шукана середина, тоді має координати:

Тобто: координати середини відрізка = середнє арифметичне відповідних координат кінців відрізка.

Це дуже просте і зазвичай не викликає труднощів у учнів. Давай подивимося, у яких завданнях і як воно використовується:

1. Най-ді-те ор-ді-на-ту се-ре-ді-ни від-різ-ка, з-е-ня-ю-ще-го точки і

2. Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми че-ти-рех-вугі-ни-ка. Знай-ді-те ор-ді-на-ту точки пе-ре-сі-че-ня його діа-го-на-лей.

3. Знай-ді-те абс-цис-су цен-тра окруж-ності, опи-сан-ної біля пря-мо-кут-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді-на-ти зі-від-віт-но.

Рішення:

1. Перше завдання – просто класика. Діємо відразу за визначенням середини відрізка. Вона має координати. Ордината дорівнює.

Відповідь:

2. Легко бачити, що цей чотирикутник є паралелограмом (навіть ромбом!). Ти й сам можеш це довести, вирахувавши довжини сторін і порівнявши їх між собою. Що я знаю про паралелограм? Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл! Ага! Значить точка перетину діагоналей – це що? Це середина будь-якої з діагоналей! Виберу, зокрема, діагональ. Тоді точка має координати Ординату точки, що дорівнює.

Відповідь:

3. З чим збігається центр описаного біля прямокутника кола? Він збігається з точкою перетину його діагоналей. А що ти знаєш про діагоналі прямокутника? Вони рівні і точкою перетину діляться навпіл. Завдання звелося до попереднього. Візьму, наприклад, діагональ. Тоді якщо – центр описаного кола, то – середина. Шукаю координати: Абсцисса рівна.

Відповідь:

Тепер потренуйся трохи самостійно, я лише наведу відповіді до кожного завдання, щоб ти міг себе перевірити.

1. Знай-ди-те ра-ді-ус окруж-ності, опи-сан-ної біля трикутника, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді -на ти

2. Знай-ді-те ор-ді-на-ту центра окружності, опи-сан-ної біля трикутника, вершини ко-то-го мають ко-ор-ді-на-ти

3. Якого р-ді-у-су має бути коло з центром у точці щоб вона торкалася осі абс-цис?

4. Най-ді-те ор-ді-на-ту точки пе-ре-се-че-ня осі і від-різ-ка, з-е-ня-ю-ще-го точки і

Відповіді:

Все вдалося? Дуже на це сподіваюсь! Тепер – останній ривок. Зараз будь особливо уважним. Той матеріал, який я зараз буду пояснювати, має безпосереднє відношення не тільки до простих завдань на метод координат з частини B, але також зустрічається повсюдно і в задачі С2.

Яку зі своїх обіцянок я ще не дотримав? Згадай, які операції над векторами я обіцяв запровадити і які зрештою ввів? Я нічого не забув? Забув! Забув пояснити, що означає множення векторів.

Існують два способи помножити вектор на вектор. Залежно від обраного способу, у нас будуть виходити об'єкти різної природи:

Векторний твір виконується досить хитро. Як його робити і навіщо воно потрібне, ми з тобою обговоримо в наступній статті. А в цій ми зупинимося на скалярному творі.

Є аж два способи, які дозволяють нам його обчислити:

Як ти здогадався, результат має бути той самий! Отже, давай спочатку розглянемо перший спосіб:

Скалярний твір через координати

Знайти: - загальноприйняте позначення скалярного твору

Формула для обчислення така:

Тобто скалярний витвір = сума творів координат векторів!

Приклад:

Знайди-те

Рішення:

Знайдемо координати кожного із векторів:

Обчислюємо скалярний твір за такою формулою:

Відповідь:

Бачиш, нічого складного!

Ану, тепер спробуй сам:

· Знай-ди-те ска-ляр-не про-з-ве-де-ние вік-то-рів і

Впорався? Може, й підступ невеликий помітив? Давай перевіримо:

Координати векторів, як у минулому завданні! Відповідь: .

Крім координатного, є й інший спосіб обчислити скалярний твір, а саме через довжини векторів і косинус кута між ними:

Позначає кут між векторами та.

Тобто скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними.

Навіщо ж нам ця друга формула, якщо у нас є перша, яка набагато простіша, у ній принаймні немає жодних косінусів. А потрібна вона для того, що з першої та другої формули ми з тобою зможемо вивести як знаходити кут між векторами!

Нехай тоді згадуй формулу для довжини вектора!

Тоді якщо я підставлю ці дані до формули скалярного твору, то я отримаю:

Але з іншого боку:

Що ж ми з тобою отримали? У нас тепер є формула, яка дає змогу обчислювати кут між двома векторами! Іноді її для стислості записують ще й так:

Тобто алгоритм обчислення кута між векторами наступний:

1. Обчислюємо скалярний твір через координати
2. Знаходимо довжини векторів та перемножуємо їх
3. Ділимо результат пункту 1 на результат пункту 2

Давай потренуємось на прикладах:

1. Знай-ді-те кут між вік-то-ра-ми і. Відповідь дайте у гра-ду-сах.

2. В умовах попереднього завдання знайдіть косинус між векторами

Вчинимо так: перше завдання я допоможу тобі вирішити, а друге спробуй зробити сам! Згоден? Тоді починаємо!

1. Ці вектори - наші старі знайомі. Їх скалярний твір ми вже вважали і він рівний. Координати вони такі: , . Тоді знайдемо їх довжини:

Тоді шукаємо косинус між векторами:

Косинус якого кута дорівнює? Це кут.

Відповідь:

Ну а тепер сам розв'яжи друге завдання, а потім порівняємо! Я наведу лише дуже коротке рішення:

2. має координати, має координати.

Нехай - кут між векторами і тоді

Відповідь:

Слід зазначити, що завдання безпосередньо на вектор і метод координат у частині B екзаменаційної роботи досить рідкісні. Однак переважна більшість завдань C2 можна легко вирішити, вдавшись до введення системи координат. Так що ти можеш вважати цю статтю фундаментом, на основі якого ми робитимемо досить хитрі побудови, які знадобляться нам для вирішення складних завдань.

КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ. СЕРЕДНІЙ У РІВЕНЬ

Ми продовжуємо вивчати метод координат. Минулої частини ми вивели ряд важливих формул, які дозволяють:

1. Знаходити координати вектора
2. Знаходити довжину вектора (альтернативно: відстань між двома точками)
3. Складати, віднімати вектори. Помножувати їх на речовинне число
4. Знаходити середину відрізка
5. Обчислювати скалярний добуток векторів
6. Знаходити кут між векторами

Звісно, ​​у ці 6 пунктів не вкладається весь координатний метод. Він лежить в основі такої науки, як аналітична геометрія, з якою тобі належить познайомитись у ВНЗ. Я хочу побудувати фундамент, який дозволить тобі вирішувати завдання у єдиному держ. екзамені. Із завданнями частини B ми розібралися в Настав час переходити на якісно новий рівень! Ця стаття буде присвячена методу вирішення завдань С2, в яких буде розумно перейти до методу координат. Ця розумність визначається тим, що завдання потрібно знайти, і яка постать дана. Отже, я став застосовувати метод координат, якщо ставляться питання:

1. Знайти кут між двома площинами
2. Знайти кут між прямою та площиною
3. Знайти кут між двома прямими
4. Знайти відстань від точки до площини
5. Знайти відстань від точки до прямої
6. Знайти відстань від прямої до площини
7. Знайти відстань між двома прямими

Якщо дана за умови завдання фігура є тілом обертання (куля, циліндр, конус...)

Придатними фігурами для методу координат є:

1. Прямокутний паралелепіпед
2. Піраміда (трикутна, чотирикутна, шестикутна)

Також з мого досвіду недоцільно використовувати метод координат для:

1. Знаходження площ перерізів
2. Обчислення обсягів тіл

Проте слід зазначити, що три «невигідні» для методу координат ситуації практично досить рідкісні. У більшості ж завдань він може стати твоїм рятівником, особливо якщо ти не дуже сильний у тривимірних побудовах (які часом бувають досить хитромудрими).

Якими є всі перелічені мною вище постаті? Вони вже не плоскі, як, наприклад, квадрат, трикутник, коло, а об'ємні! Відповідно нам потрібно розглядати вже не двомірну, а тривимірну систему координат. Будується вона досить легко: просто крім осі абсцис та ординат, ми введемо ще одну вісь, вісь аплікат. На малюнку схематично зображено їхнє взаємне розташування:

Всі вони є взаємно перпендикулярними, перетинаються в одній точці, яку ми називатимемо початком координат. Вісь абсцис, як і раніше, позначатимемо, вісь ординат - , а введену вісь аплікат - .

Якщо раніше кожна точка на площині характеризувалася двома числами – абсцисою та ординатою, то кожна точка у просторі вже описується трьома числами – абсцисою, ординатою, аплікатою. Наприклад:

Відповідно абсцис точки дорівнює, ордината - , а апліката - .

Іноді абсцис точки ще називають проекцією точки на вісь абсцис, ординату - проекцією точки на вісь ординат, а аплікату - проекцією точки на вісь аплікат. Відповідно, якщо задана точка, точку з координатами:

називають проекцією точки на площину

називають проекцією точки на площину

Постає природне питання: чи справедливі всі формули, виведені для двовимірного випадку, у просторі? Відповідь ствердна, вони справедливі і мають той самий вигляд. За невеликою деталлю. Я думаю, ти вже сам здогадався, за якою саме. У всі формули ми повинні будемо додати ще один член, який відповідає за вісь аплікату. А саме.

1. Якщо задані дві точки: , то:

• Координати вектора:
• Відстань між двома точками (або довжина вектора)
• Середина відрізка має координати

2. Якщо дано два вектори: і, то:

• Їх скалярний твір дорівнює:
• Косинус кута між векторами дорівнює:

Однак із простором не все так просто. Як ти розумієш, додавання ще однієї координати вносить суттєву різноманітність у спектр фігур, що «живуть» у цьому просторі. І для подальшої розповіді мені потрібно буде запровадити деяке, грубо кажучи, «узагальнення» прямої. Цим узагальненням буде площина. Що ти знаєш про площину? Спробуй з відповіддю, а що таке площину? Дуже важко сказати. Проте ми всі інтуїтивно уявляємо, як вона виглядає:

Грубо кажучи, це якийсь нескінченний «аркуш», засунутий у простір. «Нескінченність» слід розуміти, що площина поширюється на всі боки, тобто її площа дорівнює нескінченності. Однак, це пояснення «на пальцях» не дає найменшого уявлення про структуру площини. А нас цікавитиме саме вона.

Давай згадаємо одну з основних аксіом геометрії:

• через дві різні точки на площині проходить пряма, до того ж лише одна:

Або її аналог у просторі:

Звичайно, ти пам'ятаєш, як за двома заданими точками вивести рівняння прямої, це зовсім неважко: якщо перша точка має координати: а друга, то рівняння прямої буде наступним:

Це ти проходив ще у 7 класі. У просторі рівняння прямої виглядає ось так: нехай у нас дано дві точки з координатами: , то рівняння прямої, через них проходить, має вигляд:

Наприклад, через точки, проходить пряма:

Як це слід розуміти? Це слід розуміти ось як: точка лежить на прямій, якщо її координати задовольняють таку систему:

Нас не дуже цікавитиме рівняння прямої, але нам потрібно звернути увагу на дуже важливе поняття напрямного вектора прямої. - будь-який ненульовий вектор, що лежить на цій прямій або паралельний до неї.

Наприклад, обидва вектори є напрямними векторами прямої. Нехай – точка, що лежить на прямій, а – її напрямний вектор. Тоді рівняння прямої можна записати у такому вигляді:

Ще раз повторюся, мені не дуже буде цікаве рівняння прямої, але мені дуже потрібно, щоб ти запам'ятав, що таке напрямний вектор! Ще раз: це БУДЬ-ЯКИЙ ненульовий вектор, що лежить на прямий, або паралельний їй.

Вивести рівняння площини за трьома заданими точкамивже не так очевидно, і зазвичай це питання не розглядається в курсі середньої школи. А дарма! Цей прийом життєво необхідний, коли ми вдаємося до методу координат на вирішення складних завдань. Однак, я припускаю, що ти сповнений бажання навчитися чогось нового? Більше того, ти зможеш вразити свого викладача у ВНЗ, коли з'ясується, що ти вже вмієш із методикою, яку зазвичай вивчають у курсі аналітичної геометрії. Отже, почнемо.

Рівняння площини не надто відрізняється від рівняння прямої на площині, а саме воно має вигляд:

деякі числа (усі рівні нулю), а змінні, наприклад: тощо. Як бачиш, рівняння площини не дуже відрізняється від рівняння прямої (лінійної функції). Проте згадай, що ми з тобою затверджували? Ми говорили, що якщо у нас є три точки, які не лежать на одній прямій, то рівняння площини однозначно по них відновлюється. Але як? Спробую тобі пояснити.

Оскільки рівняння площини має вигляд:

А точки належать цій площині, то при підстановці координат кожної точки на рівняння площини ми повинні отримувати правильну тотожність:

Таким чином, постає необхідність вирішувати три рівняння аж із невідомими! Дилема! Однак завжди можна припускати, що (для цього потрібно поділити). Таким чином, ми отримаємо три рівняння із трьома невідомими:

Однак ми не вирішуватимемо таку систему, а випишемо загадкове вираження, яке з нього випливає:

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Стоп! Це ще що таке? Якийсь незвичайний модуль! Однак об'єкт, який ти бачиш перед собою, не має нічого спільного з модулем. Цей об'єкт називається визначником третього порядку. Відтепер і надалі, коли ти матимеш справу з методом координат на площині, тобі дуже часто зустрічатимуться ці визначники. Що таке визначник третього порядку? Як не дивно, це всього лише число. Залишилося зрозуміти, яке саме число ми зіставлятимемо з визначником.

Давай спочатку запишемо визначник третього порядку у загальному вигляді:

Де – деякі числа. Причому під першим індеком ми розуміємо номер рядка, а під індеком – номер стовпця. Наприклад, означає, що це число стоїть на перетині другого рядка та третього стовпця. Давай поставимо наступне питання: яким саме чином ми обчислюватимемо такий визначник? Тобто, яке саме число ми будемо йому зіставляти? Для визначника саме третього порядку є евристичне (наочне) правило трикутника воно виглядає так:

1. Добуток елементів головної діагоналі (з верхнього лівого кута до нижнього правого) твір елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» головної діагоналі
2. Добуток елементів побічної діагоналі (з верхнього правого кута до нижнього лівого) добуток елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» побічній діагоналі
3. Тоді визначник дорівнює різниці значень, отриманих на кроці та

Якщо записати все це цифрами, ми отримаємо такий вираз:

Тим не менш, запам'ятовувати спосіб обчислення в такому вигляді не потрібно, достатньо в голові просто тримати трикутники і саму ідею, що з чим складається і що потім віднімається).

Давай проілюструємо метод трикутників на прикладі:

1. Обчислити визначник:

Давай розбиратися, що ми складаємо, а що – віднімаємо:

Доданки, які йдуть із «плюсом»:

Це головна діагональ: добуток елементів дорівнює

Перший трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: добуток елементів дорівнює

Другий трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: добуток елементів дорівнює

Складаємо три числа:

Доданки, які йдуть з «мінусом»

Це побічна діагональ: добуток елементів дорівнює

Перший трикутник, «перпендикулярний до побічної діагоналі: добуток елементів дорівнює

Другий трикутник, «перпендикулярний до побічної діагоналі: добуток елементів дорівнює

Складаємо три числа:

Все, що залишилося зробити - це відняти з суми доданків «з плюсом» суму доданків «з мінусом»:

Таким чином,

Як бачиш, нічого складного та надприродного у обчисленні визначників третього порядку немає. Просто важливо пам'ятати про трикутники і не допускати арифметичних помилок. Тепер спробуй самостійно вирахувати:

Перевіряємо:

1. Перший трикутник, перпендикулярний до головної діагоналі:
2. Другий трикутник, перпендикулярний головній діагоналі:
3. Сума доданків із плюсом:
4. Перший трикутник, перпендикулярний до побічної діагоналі:
5. Другий трикутник, перпендикулярний до побічної діагоналі:
6. Сума доданків з мінусом:
7. Сума доданків із плюсом мінус сума доданків із мінусом:

Ось тобі ще пара визначників, обчисли їх значення самостійно і порівняй із відповідями:

Відповіді:

Ну що, все збіглося? Добре, тоді можна рухатися далі! Якщо ж є труднощі, то моя порада така: в інтернеті є купа програм обчислення визначника он-лайн. Все, що тобі потрібно - придумати свій визначник, обчислити його самостійно, а потім порівняти з тим, що програма вважатиме. І так доти, доки результати не почнуть співпадати. Упевнений, цей момент не змусить довго чекати!

Тепер давай повернемося до того визначника, який я виписав, коли говорив про рівняння площини через три задані точки:

Все, що тобі потрібно – це обчислити його значення безпосередньо (методом трикутників) та прирівняти результат до нуля. Звичайно, оскільки - змінні, то ти отримаєш деякий вираз, що від них залежить. Саме цей вираз і буде рівнянням площини, що проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій!

Давай проілюструємо сказане на простому прикладі:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через точки

Складаємо для цих трьох точок визначник:

Спрощуємо:

Тепер обчислюємо його безпосередньо за правилом трикутників:

\[(\left| right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Таким чином, рівняння площини, що проходить через точки, має вигляд:

Тепер спробуй вирішити одне завдання самостійно, а потім ми його обговоримо:

2. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

Ну що, тепер обговоримо рішення:

Складаємо визначник:

І обчислюємо його значення:

Тоді рівняння площини має вигляд:

Або ж, скоротивши на, отримаємо:

Тепер два завдання для самоконтролю:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через три точки:

Відповіді:

Все збіглося? Знов-таки, якщо є певні труднощі, то моя порада така: береш з голови три точки (з великим ступенем ймовірності вони не будуть лежати на одній прямій), будуєш за ними площину. А потім перевіряєш себе он-лайн. Наприклад, на сайті:

Однак за допомогою визначників ми будуватимемо не тільки рівняння площини. Згадай, я казав тобі, що для векторів визначено не лише скалярне твір. Є ще векторний, а також змішаний твір. І якщо скалярним твором двох векторів і буде число, то векторним твором двох векторів і буде вектор, причому цей вектор перпендикулярний до заданих:

Причому його модуль дорівнює площі паралелограма, посторенного на векторах і. Цей вектор знадобиться для обчислення відстані від точки до прямої. Як нам вважати векторний твір векторів і, якщо їх координати задані? На допомогу знову приходить визначник третього порядку. Однак, перш ніж я перейду до алгоритму обчислення векторного твору, я мушу зробити невеликий ліричний відступ.

Цей відступ стосується базових векторів.

Схематично вони зображені малюнку:

Як ти думаєш, а чому вони називаються базисними? Справа в тому що :

Або на зображенні:

Справедливість цієї формули очевидна, адже:

Векторний витвір

Тепер я можу розпочати введення векторного твору:

Векторним твором двох векторів називається вектор, який обчислюється за таким правилом:

Тепер наведемо кілька прикладів обчислення векторного твору:

Приклад 1: Знайти векторний добуток векторів:

Рішення: складаю визначник:

І рахую його:

Тепер від запису через базисні вектори, я повернуся до звичного запису вектора:

Таким чином:

Тепер спробуй.

Готовий? Перевіряємо:

І традиційно дві завдання для контролю:

1. Знайти векторний твір наступних векторів:
2. Знайти векторний твір наступних векторів:

Відповіді:

Змішаний твір трьох векторів

Остання конструкція, яка мені знадобиться, - це змішаний твір трьох векторів. Воно, як і скалярне, є числом. Є два способи його обчислення. - через визначник, - через змішане твір.

А саме, нехай у нас дано три вектори:

Тоді змішане твір трьох векторів, що позначається через можна обчислити як:

1. - тобто змішаний твір - це скалярний твір вектора на векторний твір двох інших векторів

Наприклад, змішаний твір трьох векторів дорівнює:

Самостійно спробуй обчислити його через векторний твір та переконайся, що результати співпадуть!

І знову – два приклади для самостійного вирішення:

Відповіді:

Вибір системи координат

Ну ось тепер у нас є весь необхідний фундамент знань, щоб вирішувати складні стереометричні завдання з геометрії. Однак перш ніж приступати безпосередньо до прикладів та алгоритмів їх вирішення, я вважаю, що буде корисно зупинитися ще на якому питанні: як саме вибирати систему координат для тієї чи іншої фігури.Адже саме вибір взаємного розташування системи координат і фігури у просторі зрештою визначить, наскільки громіздки будуть обчислення.

Я нагадаю, що в цьому розділі ми розглядаємо такі постаті:

1. Прямокутний паралелепіпед
2. Пряма призма (трикутна, шестикутна…)
3. Піраміда (трикутна, чотирикутна)
4. Тетраедр (одне й те саме, що й трикутна піраміда)

Для прямокутного паралелепіпеда або куба я рекомендую тобі таку побудову:

Тобто фігуру я поміщатиму «в кут». Куб та паралелепіпед – це дуже хороші фігури. Для них ти завжди легко можеш знайти координати його вершин. Наприклад, якщо (як показано на малюнку)

то координати вершин такі:

Запам'ятовувати це, звичайно, не потрібно, проте пам'ятати, як краще мати куб або прямокутний паралелепіпед - бажано.

Пряма призма

Призма – більш шкідлива постать. Розташовувати її у просторі можна по-різному. Однак мені найбільш прийнятним видається такий варіант:

Трикутна призма:

Тобто одну із сторін трикутника ми повністю кладемо на вісь, причому одна з вершин збігається з початком координат.

Шестикутна призма:

Тобто одна з вершин збігається з початком координат і одна зі сторін лежить на осі.

Чотирикутна та шестикутна піраміда:

Ситуація, аналогічна кубу: дві сторони основи поєднуємо з осями координат, одну з вершин поєднуємо з початком координат. Єдиною невеликою складністю розрахувати координати точки.

Для шестикутної піраміди – аналогічно, як для шестикутної призми. Основне завдання знову-таки буде у пошуку координат вершини.

Тетраедр (трикутна піраміда)

Ситуація дуже подібна до тієї, яку я привів для трикутної призми: одна вершина збігається з початком координат, одна сторона лежить на координатній осі.

Ну що, тепер ми з тобою нарешті близькі до того, щоб приступити до вирішення завдань. Зі сказаного мною на самому початку статті, ти міг зробити ось який висновок: більшість задач C2 діляться на 2 категорії: задачі на кут і задачі на відстань. Спочатку ми з тобою розглянемо завдання на знаходження кута. Вони у свою чергу поділяються на такі категорії (у міру збільшення складності):

Завдання на пошук кутів

1. Знаходження кута між двома прямими
2. Знаходження кута між двома площинами

Давай розглядатимемо ці завдання послідовно: почнемо з знаходження кута між двома прямими. Ну, згадай, а чи не вирішували ми з тобою подібні приклади раніше? Пригадуєш, адже ми вже мали щось подібне… Ми шукали кут між двома векторами. Я нагадаю тобі, якщо дано два вектори: і, то кут між ними знаходиться із співвідношення:

Тепер же ми маємо мету - знаходження кута між двома прямими. Давай звернемося до «плоської картинки»:

Скільки у нас вийшло кутів при перетині двох прямих? Аж штуки. Щоправда, не рівних з них тільки два, інші ж є вертикальними до них (а тому з ними збігаються). То який кут нам вважати кутом між двома прямими: чи? Тут правило таке: кут між двома прямими завжди не більше ніж градусів. Тобто з двох кутів ми завжди вибиратимемо кут з найменшою градусною мірою. Тобто на цій картинці кут між двома прямими дорівнює. Щоб щоразу не морочитися з пошуком найменшого з двох кутів, хитрі математики запропонували використовувати модуль. Таким чином, кут між двома прямими визначається за формулою:

У тебе, як у уважного читача, мало виникнути питання: а звідки, власне, ми візьмемо ті самі числа, які нам потрібні для обчислення косинуса кута? Відповідь: ми братимемо їх з напрямних векторів прямих! Таким чином, алгоритм знаходження кута між двома прямими виглядає так:

1. Застосовуємо формулу 1.

Або докладніше:

1. Шукаємо координати напрямного вектора першої прямої
2. Шукаємо координати напрямного вектора другої прямої
3. Обчислюємо модуль їхнього скалярного твору
4. Шукаємо довжину першого вектора
5. Шукаємо довжину другого вектора
6. Помножуємо результати пункту 4 на результати пункту 5
7. Ділимо результат пункту 3 на результат пункту 6. Отримуємо косинус кута між прямими
8. Якщо цей результат дозволяє точно вирахувати кут, шукаємо його
9. Інакше пишемо через арккосинус

Ну що, тепер саме час перейти до завдань: рішення перших двох я продемонструю докладно, рішення ще одного я представлю в короткому вигляді, а до останніх двох завдань я дам лише відповіді, всі викладки до них ти повинен провести сам.

Завдання:

1. У пра-вільному тет-ра-ед-ре зна-ди-те кут між ви-со-тою тет-ра-ед-ра і ме-ді-а-ної бо-кої грані.

2. У пра-вільній шості-вугільній пи-ра-мі-де сто-ро-ни ос-но-ва-ня ко-то-рої рівні, а бо-ко-ві ребра рівні, знайди кут між пря-ми і.

3. Довжини всіх ребер правильної че-ти-рех-вугільної пі-ра-мі-ди рівні між собою. Знай-ді-те кут між пря-ми-ми і якщо від-різок — ви-со-та дан-ної пі-ра-мі-ди, точка — се-ре-ді-на її бо-ко- во-го ребра

4. На ребрі куба від-мі-че-на точка так, що Най-ді-те кут між пря-ми-ми і

5. Точка - се-ре-ді-на ребра куба Най-ді-те кут між пря-ми-ми і.

Я невипадково поставив завдання в такому порядку. Поки ти ще не встиг почати орієнтуватися в методі координат, я сам розберу найпроблемніші фігури, а тобі надам розібратися з найпростішим кубом! Поступово тобі належить навчитися працювати з усіма фігурами, складність завдань я збільшуватиму від теми до теми.

Приступаємо до вирішення завдань:

1. Малюємо тетраедр, поміщаємо його до системи координат так, як я пропонував раніше. Оскільки тетраед правильний - всі його грані (включаючи основу) - правильні трикутники. Оскільки нам не дана довжина сторони, то я можу прийняти її рівною. Я думаю, ти розумієш, що кут насправді не залежатиме від того, наскільки наш тетраедр буде «розтягнутий»? Також проведу в тетраедрі висоту та медіану. Принагідно я намалюю його підставу (воно нам теж знадобиться).

Мені потрібно знайти кут між і. Що нам відомо? Нам відома лише координата точки. Отже, треба знайти координати точок. Тепер думаємо: точка – це точка перетину висот (або бісектрис або медіан) трикутника. А точка – це піднята точка. Точка ж – це середина відрізка. Тоді остаточно треба знайти: координати точок: .

Почнемо із найпростішого: координати точки. Дивись на малюнок: Ясно, що апліката точки дорівнює нулю (крапка лежить на площині). Її ордината дорівнює (оскільки - медіана). Складніше знайти її абсцису. Однак це легко робиться на основі теореми Піфагора: Розглянемо трикутник. Його гіпотенуза дорівнює, а один з катетів дорівнює:

Остаточно маємо: .

Тепер знайдемо координати точки. Ясно, що її апліката знову дорівнює нулю, а її ордината така сама, як у точки, тобто. Знайдемо її абсцису. Це робиться досить тривівально, якщо пам'ятати, що висоти рівностороннього трикутника точкою перетину діляться у пропорціївід вершини. Оскільки: , то шукана абсцисса точки, що дорівнює довжині відрізка, дорівнює: . Таким чином, координати точки дорівнюють:

Знайдемо координати точки. Ясно, що її абсцисса та ордината збігаються з абсцисою та ординатою точки. А апліката дорівнює довжині відрізка. - це один із катетів трикутника. Гіпотенуза трикутника – це відрізок – катет. Він шукає з міркувань, які я виділив жирним шрифтом:

Крапка – це середина відрізка. Тоді нам треба згадати формулу координат середини відрізка:

Ну все, тепер ми можемо шукати координати напрямних векторів:

Ну що, все готово: підставляємо всі дані у формулу:

Таким чином,

Відповідь:

Тебе не повинні лякати такі «жахливі» відповіді: для задач С2 це звичайна практика. Я скоріше здивувався б «красивій» відповіді в цій частині. Також, як ти помітив, я практично не вдавався ні до чого, крім теореми Піфагора і якості висот рівностороннього трикутника. Тобто для вирішення стереометричного завдання я використав мінімум стереометрії. Виграш у цьому частково «гаситься» досить громіздкими обчисленнями. Зате вони досить алгоритмічні!

2. Зобразимо правильну шестикутну піраміду разом із системою координат, а також її основу:

Нам потрібно знайти кут між прямими та. Отже, наше завдання зводиться до пошуку координат точок: . Координати останніх трьох знайдемо по маленькому малюнку, а коодинату вершини знайдемо через координату точки. Роботи навалом, але треба приступати до неї!

a) Координата: ясно, що її апліката та ордината дорівнюють нулю. Знайдемо абсцис. Для цього розглянемо прямокутний трикутник. На жаль, у ньому нам відома лише гіпотенуза, яка дорівнює. Катет ми намагатимемося відшукати (бо ясно, що подвоєна довжина катета дасть нам абсцису крапки). Як же нам її шукати? Пригадаймо, що за постать у нас лежить в основі піраміди? Це правильний шестикутник. А що це означає? Це означає, що у нього всі боки та всі кути рівні. Треба знайти один такий кут. Є ідеї? Ідей маса, але є формула:

Сума кутів правильного n-кутника дорівнює .

Отже, сума кутів правильного шестикутника дорівнює градусів. Тоді кожен із кутів дорівнює:

Знову дивимося на картинку. Зрозуміло, що відрізок - бісектриса кута. Тоді кут дорівнює градусам. Тоді:

Тоді звідки.

Таким чином, має координати

b) Тепер легко знайдемо координату точки: .

c) Знайдемо координати точки. Оскільки її абсцисса збігається з довжиною відрізка вона дорівнює. Знайти ординату теж не дуже складно: якщо ми з'єднаємо точки і точку перетину прямої позначимо, скажемо за. (Зроби сам нескладне побудова). Таким чином, ордината точки B дорівнює сумі довжин відрізків. Знову звернемося до трикутника. Тоді

Тоді як точка має координати

d) Тепер виявимо координати точки. Розглянь прямокутник і доведіть, що таким чином координати точки:

e) Залишилось знайти координати вершини. Ясно, що її абсцисса та ордината збігається з абсцисою та ординатою точки. Знайдемо аплікату. Тому що. Розглянемо прямокутний трикутник. За умовою завдання бічне ребро. Це гіпотенуза мого трикутника. Тоді висота піраміди – катет.

Тоді точка має координати:

Ну все, у мене є координати всіх точок, що цікавлять мене. Шукаю координати напрямних векторів прямих:

Шукаємо кут між цими векторами:

Відповідь:

Знову ж таки, при вирішенні цього завдання я не використовував жодних витончених прийомів, крім формули суми кутів правильного n-кутника, а також визначення косинуса та синуса прямокутного трикутника.

3. Оскільки нам знову не дано довжини ребер у піраміді, то я вважатиму їх рівними одиниці. Таким чином, оскільки всі ребра, а не тільки бічні, рівні між собою, то в основі піраміди і мене лежить квадрат, а бічні грані - правильні трикутники. Зобразимо таку піраміду, а також її основу на площині, відзначивши всі дані, наведені в тексті завдання:

Шукаємо кут між і. Я робитиму дуже короткі викладки, коли займатимуся пошуком координат точок. Тобі потрібно буде «розшифрувати» їх:

b) – середина відрізка. Її координати:

c) Довжину відрізка знайду за теоремі Піфагора в трикутнику. Знайду за теоремою Піфагора в трикутнику.

Координати:

d) – середина відрізка. Її координати рівні

e) Координати вектора

f) Координати вектора

g) Шукаємо кут:

Куб – найпростіша фігура. Я впевнений, що з нею ти розберешся самостійно. Відповіді до завдань 4 та 5 наступні:

Знаходження кута між прямою та площиною

Ну що, час найпростіших завдань закінчено! Тепер приклади будуть ще складнішими. Для відшукання кута між прямою і площиною ми будемо чинити так:

1. За трьома точками будуємо рівняння площини
   ,
   використовуючи визначник третього порядку.
2. По двох точках шукаємо координати напрямного вектора прямої:
3. Застосовуємо формулу для обчислення кута між прямою та площиною:

Як бачиш, ця формула дуже схожа на ту, яку ми застосовували для пошуку кутів між двома прямими. Структура правої частини просто однакова, а зліва ми тепер шукаємо синус, а чи не косинус, як раніше. Ну і додалася одна неприємна дія - пошук рівняння площини.

Не відкладатимемо в довгу скриньку вирішення прикладів:

1. Ос-но-ва-ні-єм пря-мой приз-ми яв-ля-ет-ся рів-но-бед-рен-ний трикутник Ви-со-та приз-ми дорівнює. Знайди кут між пря-мою і плос-кістю

2. У пря-мо-вугільному па-рал-ле-ле-пі-пе-де з-вест-ни Най-ді-те кут між пря-мою і плос-кістю

3. У правильній шість-вугільний призмі всі ребра рівні. Знайди кут між пря-мою і плос-кістю.

4. У пра-вільній трикутній пи-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-єм із-вест-ни ребра Най-ді-те кут, об-ра-зо-ван -ний плос-кістю ос-но-ва-ня і пря-мий, про-хо-дя-щої через се-ре-ді-ни ребер і

5. Довжини всіх ребер правильної чотирикутної піраміди з вершиною рівні між собою. Знай-ді-те кут між прямою і плос-кістю, якщо точка - се-ре-ді-на бо-ко-во-го ребра пі-ра-мі-ди.

Знову я вирішу перші два завдання докладно, третє - коротко, а останні два залишаю тобі для самостійного вирішення. До того ж тобі вже доводилося мати справу з трикутною та чотирикутною пірамідами, а ось із призмами – поки що ні.

Рішення:

1. Зобразимо призму, і навіть її основу. Сумісний її із системою координат та відзначимо всі дані, які дано за умови завдання:

Вибачаюсь за деяке недотримання пропорцій, але для вирішення завдання це, по суті, не так важливе. Площина – це просто «задня стінка» моєї призми. Досить просто здогадатися, що рівняння такої площини має вигляд:

Однак це можна показати і безпосередньо:

Виберемо довільні три точки на цій площині: наприклад, .

Складемо рівняння площини:

Вправа тобі: самостійно вирахувати цей визначник. У тебе вийшло? Тоді рівняння площини має вигляд:

Або просто

Таким чином,

Для вирішення прикладу мені потрібно знайти координати напрямного вектора прямої. Оскільки точка збіглася з початком координат, то координати вектора просто збігатимуться з координатами точки. Для цього знайдемо спочатку координати точки.

Для цього розглянемо трикутник. Проведемо висоту (вона ж – медіана та біссектріса) з вершини. Оскільки ордината точки дорівнює. Для того, щоб знайти абсцис цієї точки, нам потрібно обчислити довжину відрізка. За теоремою Піфагора маємо:

Тоді точка має координати:

Крапка - це «піднята» на крапка:

Тоді координати вектора:

Відповідь:

Як бачиш, нічого принципово складного під час вирішення таких завдань немає. Насправді, процес ще трохи спрощує «прямота» такої фігури, як призма. Тепер давай перейдемо до такого прикладу:

2. Малюємо паралелепіпед, проводимо в ньому площину та пряму, а також окремо викреслюємо його нижню основу:

Спочатку знайдемо рівняння площини: Координати трьох точок, що у ній:

(перші дві координати отримані очевидним способом, а останню координату ти легко знайдеш на картинці з точки). Тоді складаємо рівняння площини:

Обчислюємо:

Шукаємо координати напрямного вектора: Ясно, що його координати збігаються з координатами точки, чи не так? Як знайти координати? Це координати точки, підняті по осі аплікат на одиницю! . Тоді Шукаємо шуканий кут:

Відповідь:

3. Малюємо правильну шестикутну піраміду, а потім проводимо в ній площину та пряму.

Тут навіть площину намалювати проблемно, не кажучи вже про розв'язання цього завдання, проте метод координат все одно! Саме в його універсальності і є його основна перевага!

Площина проходить через три точки: . Шукаємо їх координати:

1). Сам виведи координати для останніх двох точок. Тобі знадобиться для цього розв'язання задачі із шестикутною пірамідою!

2) Будуємо рівняння площини:

Шукаємо координати вектора: . (Знову дивись завдання з трикутною пірамідою!)

3) Шукаємо кут:

Відповідь:

Як бачиш, нічого надприродно складного у цих завданнях немає. Потрібно лише бути дуже уважним із корінням. До останніх двох завдань я дам лише відповіді:

Як ти міг переконатися, техніка вирішення завдань скрізь однакова: основне завдання знайти координати вершин і підставити в деякі формули. Нам залишилося розглянути ще один клас завдань на обчислення кутів, а саме:

Обчислення кутів між двома площинами

Алгоритм рішення буде таким:

1. За трьома точками шукаємо рівняння першої площини:
2. За іншими трьома точками шукаємо рівняння другої площини:
3. Застосовуємо формулу:

Як бачиш, формула дуже схожа на дві попередні, за допомогою яких ми шукали кути між прямими та між прямою та площиною. Так що запам'ятати цю тобі не складе особливих труднощів. Відразу переходимо до розбору завдань:

1. Сто-ро-на ос-но-ва-ня правильної трикутної приз-ми дорівнює, а діагональ бокової грані дорівнює. Знай-ді-те кут між плос-кістю і плос-кістю ос-но-ва-ня приз-ми.

2. У пра-виль-ной че-ти-рех-вугіль-ної пі-ра-мі-де, всі ребра ко-то-рої рівні, зна-ді-те синус кута між плос-кістю і плос- кісткою, що проходить через точку пер-ді-ку-ляр-но пря-мий.

3. У правильній че-ти-рех-вугільній призмі сто-ро-ни ос-но-ва-ня рівні, а бо-ко-ві ребра рівні. На ребрі від-ме-че-на точка так, що. Знайдіть кут між плос-ко-стя-ми і

4. У пра-виль-ної чотирикутної приз-мі сто-рони ос-но-ва-ня рівні, а бічні ребра рівні. На ребрі від-мі-че-на точка так, що Най-ді-те кут між плос-ко-стя-ми і.

5. У кубі най-ді-те ко-си-нус кута між плос-ко-стя-ми і

Розв'язання задач:

1. Малюю правильну (в основі - рівносторонній трикутник) трикутну призму та наголошую на ній площині, які фігурують за умови завдання:

Нам потрібно знайти рівняння двох площин: Рівняння основи виходить тривіально: ти можеш скласти відповідний визначник за трьома точками, я ж складу рівняння відразу:

Тепер знайдемо рівняння Точка має координати Точка - Оскільки - медіана і висота трикутника, то легко знаходиться за теоремою Піфагора в трикутнику. Тоді точка має координати: Знайдемо аплікату точки Для цього розглянемо прямокутний трикутник

Тоді отримуємо такі координати: Складаємо рівняння площини.

Обчислюємо кут між площинами:

Відповідь:

2. Робимо малюнок:

Найскладніше – це зрозуміти, що це така за таємнича площина, яка проходить через точку перпендикулярно. Що ж, головне, це що? Головне – це уважність! Насправді, пряма перпендикулярна. Пряма також перпендикулярна. Тоді площина, що проходить через ці дві прямі, буде перпендикулярна до прямої, і, до речі, проходити через точку. Ця поверхня також проходить через вершину піраміди. Тоді потрібна площина - А площина нам вже дана. Шукаємо координати точок.

Координату точки знайдемо через точку. З маленького малюнка легко вивести, що координати точки будуть такі: Що тепер залишилося знайти, щоб знайти координати вершини піраміди? Ще треба вирахувати її висоту. Це робиться за допомогою тієї ж теореми Піфагора: спочатку доведи, що (тривіально з маленьких трикутничків, що утворюють квадрат на підставі). Оскільки за умовою, то маємо:

Тепер все готово: координати вершини:

Складаємо рівняння площини:

Ти вже фахівець у обчисленні визначників. Без праці ти отримаєш:

Або інакше (якщо домножимо обидві частини на корінь із двох)

Тепер знайдемо рівняння площини:

(Ти ж не забув, як ми отримуємо рівняння площини, правда? Якщо ти не зрозумів, звідки взялася ця мінус одиниця, то повернися до визначення рівняння площини! Просто завжди раніше виявлялося так, що моїй площині належало початок координат!)

Обчислюємо визначник:

(Ти можеш помітити, що рівняння площини співпало з рівнянням прямої, що проходить через точки і! Подумай чому!)

Тепер обчислюємо кут:

Нам треба знайти синус:

Відповідь:

3. Каверзне питання: а що таке прямокутна призма, як ти думаєш? Це ж всього лише добре відомий тобі паралелепіпед! Одразу ж робимо креслення! Можна навіть окремо не зображати підстави, користі від нього тут небагато:

Площина, як ми вже помітили, записується у вигляді рівняння:

Тепер складаємо площину

Відразу складаємо рівняння площини:

Шукаємо кут:

Тепер відповіді до останніх двох завдань:

Ну що ж, тепер саме час трохи перепочити, адже ми з тобою молодці і проробили величезну роботу!

Координати та вектори. Просунутий рівень

У цій статті ми обговоримо ще один клас завдань, які можна вирішувати за допомогою методу координат: завдання на обчислення відстані. А саме, ми з тобою розглянемо такі випадки:

1. Обчислення відстані між прямими, що схрещуються.

Я впорядкував дані завдання зі збільшенням їх складності. Найпростіше виявляється знайти відстань від точки до площини, а найскладніше - знайти відстань між схрещуючими прямими. Хоча, звісно, ​​немає нічого неможливого! Давай не відкладатимемо в довгий ящик і відразу приступимо до розгляду першого класу завдань:

Обчислення відстані від точки до площини

Що нам знадобиться для вирішення цього завдання?

1. Координати точки

Отже, як тільки ми отримаємо всі необхідні дані, застосовуємо формулу:

Як ми будуємо рівняння площини, тобі вже має бути відомо з попередніх завдань, які я розбирав у минулій частині. Давай відразу приступимо до завдань. Схема наступна: 1, 2 – я допомагаю тобі вирішувати, причому досить докладно, 3, 4 – тільки відповідь, рішення ти проводиш сам і порівнюєш. Почали!

Завдання:

1. Даний куб. Довжина ребра куба дорівнює. Най-ді-те роз-сто-я-ня від се-ре-ді-ни від-різ-ка до плос-ко-сті

2. Дана пра-вільна че-ти-рех-вугіль-на пі-ра-мі-да Бо-ко-вое ребро сто-ро-на ос-но-ва-ня дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я від крапки до плос-кості де — се-ре-ді-на ребра.

3. У пра-виль-ної трикутної пі-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-єм бо-ко-вое ребро одно, а сто-ро-на ос-но-ва- ня дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від вер-ши-ни до плос-ко-сті.

4. У правильній шість-вугільній приз-мі всі ребра рівні. Знай-ді-те відстань від точки до плос-кості.

Рішення:

1. Малюємо кубик з одиничними ребрами, будуємо відрізок та площину, середину відрізка позначимо буквою

.

Спочатку давай почнемо з легені: знайдемо координати точки. Бо (згадай координати середини відрізка!)

Тепер складаємо рівняння площини за трьома точками

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\y&1&0\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Тепер я можу приступати до пошуку відстані:

2. Знову починаємо з креслення, на якому відзначаємо всі дані!

Для піраміди було б корисно окремо малювати її основу.

Навіть той факт, що я малюю як курка лапою, не завадить нам легко вирішити це завдання!

Тепер легко знайти координати точки

Оскільки координати точки, то

2. Оскільки координати точки а – середина відрізка, то

Без проблем знайдемо і координати ще двох точок на площині. Складаємо рівняння площини та спростимо його:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Оскільки точка має координати: , то обчислюємо відстань:

Відповідь (дуже рідкісна!):

Ну, що, розібрався? Мені здається, що тут так само технічно, як і в тих прикладах, що ми розглядали з тобою в попередній частині. Так що я впевнений, що якщо ти опанував тим матеріалом, то тобі не важко вирішити два завдання, що залишилися. Я лише наведу відповіді:

Обчислення відстані від прямої до площини

Насправді тут немає нічого нового. Як можуть розташовуватися пряма та площина один щодо одного? У них є всі можливості: перетнутися, або пряма паралельна площині. Як ти думаєш, чим дорівнює відстань від прямої до площини, з якою ця пряма перетинається? Мені здається, що тут ясно, що така відстань дорівнює нулю. Нецікавий випадок.

Другий випадок хитріший: тут уже відстань ненульова. Однак, оскільки пряма паралельна площині, то кожна точка прямої рівновіддалена від цієї площини:

Таким чином:

А це означає, що моє завдання звелося до попереднього: шукаємо координати будь-якої точки на прямій, шукаємо рівняння площини, обчислюємо відстань від точки до площини. Насправді такі завдання в ЄДІ зустрічаються вкрай рідко. Мені вдалося знайти лише одне завдання, і то дані в ньому були такими, що метод координат до неї був не дуже й застосовний!

Тепер перейдемо до іншого, набагато важливішого класу завдань:

Обчислення відстані точки до прямої

Що нам потрібно?

1. Координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Координати будь-якої точки, що лежить на прямій

3. Координати напрямного вектора прямої

Яку застосовуємо формулу?

Що означає знаменник цього дробу тобі і так має бути ясно: це довжина напрямного вектора прямої. Тут дуже хитрий чисельник! Вираз означає модуль (довжина) векторного твору векторів та Як обчислювати векторний витвір, ми з тобою вивчали у попередній частині роботи. Освіжи свої знання, нам вони зараз дуже знадобляться!

Таким чином, алгоритм розв'язання задач буде наступним:

1. Шукаємо координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Шукаємо координати будь-якої точки на прямій, до якої ми шукаємо відстань:

3. Будуємо вектор

4. Будуємо напрямний вектор прямий

5. Обчислюємо векторний твір

6. Шукаємо довжину отриманого вектора:

7. Обчислюємо відстань:

Роботи у нас багато, а приклади будуть доволі складними! Так що тепер зосередьте всю увагу!

1. Дана пра-вільна трикутна пі-ра-мі-да з вер-ши-ною. Сто-ро-на ос-но-ва-ня пі-ра-мі-ди дорівнює, ви-со-та дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від се-ре-ді-ни бо-ко-во-го ребра до прямої, де точки і — се-ре-ді-ни ребер і зі-від- вет-ствен-но.

2. Довжини ребер і прямо-вугіль-но-го парале-ле-ле-пі-пе-да рівні со-від-вет-ство-но і Най-ді-те рас-сто-я-ня від вер-ши-ни до прямий

3. У пра-вільній шість-вугільній приз-мі всі ребра якої рівні рівні най-ди-те роз-стояння від точки до прямої

Рішення:

1. Робимо акуратне креслення, на якому відзначаємо всі дані:

Роботи у нас з тобою безліч! Я спочатку хотів би описати словами, що ми шукатимемо і в якому порядку:

1. Координати точок та

2. Координати точки

3. Координати точок та

4. Координати векторів та

5. Їхній векторний твір

6. Довжина вектора

7. Довжину векторного твору

8. Відстань від до

Ну що ж, роботи ми маємо чимало! Приймаємося за неї, засукавши рукави!

1. Щоб знайти координати висоти піраміди, нам потрібно знати координати точки Її аплікату дорівнює нулю, а ордината дорівнює Абсцисса її дорівнює довжині відрізка. Остаточно, отримали координати:

Координати точки

2. – середина відрізка

3. – середина відрізка

Середина відрізка

4.Координати

Координати вектора

5. Обчислюємо векторний твір:

6. Довжина вектора: найпростіше замінити, що відрізок - середня лінія трикутника, отже, він дорівнює половині основи. Так що.

7. Вважаємо довжину векторного твору:

8. Нарешті, знаходимо відстань:

Ух, ну все! Чесно тобі скажу: вирішення цього завдання традиційними методами (через побудови) було б набагато швидше. Натомість тут я все звів до готового алгоритму! Я так думаю, що алгоритм вирішення тобі зрозумілий? Тому попрошу тебе вирішити два завдання самостійно. Порівняємо відповіді?

Знову ж таки повторюся: ці завдання простіше (швидше) вирішувати через побудови, а не вдаючись до координатного методу. Я продемонстрував такий спосіб вирішення лише для того, щоб показати тобі універсальний метод, який дозволяє «нічого не добудовувати».

Нарешті, розглянемо останній клас завдань:

Обчислення відстані між прямими схрещуються

Тут алгоритм розв'язання задач буде схожий на попередній. Що у нас є:

3. Будь-який вектор, що з'єднує точки першої та другої прямої:

Як ми шукаємо відстань між прямими?

Формула така:

Чисельник - це модуль змішаного твору (ми його вводили в попередній частині), а знаменник - як і в попередній формулі (модуль векторного твору напрямних прямих векторів, відстань між якими ми з тобою шукаємо).

Я нагадаю тобі, що

тоді формулу для відстані можна переписати у вигляді:

Такий собі визначник ділити на визначник! Хоча, якщо чесно, мені тут зовсім не до жартів! Ця формула насправді дуже громіздка і призводить до досить складних обчислень. На твоєму місці я вдавався б до неї тільки в крайньому випадку!

Давай спробуємо вирішити кілька завдань, використовуючи викладений вище метод:

1. У пра-виль-ної трикутної приз-мі, всі ребра якої-то рівні, зна-ді-те рас-сто-я-ня між пря-ми-ми і.

2. Дана пра-вільна трикутна приз-ма всі ребра ос-но-ва ко-то-рой рівні Се-че-ние, про-хо-дя-че через бо-ко-вое ребро і се-ре-ді-ну ребра яв-ля-ється квад-ра-том. Най-ди-те роз-сто-я-ня між пря-ми-ми і

Першу вирішую я, а спираючись на неї, другу вирішуєш ти!

1. Малюю призму та відзначаю прямі та

Координати точки С: тоді

Координати точки

Координати вектора

Координати точки

Координати вектора

Координати вектора

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Вважаємо векторний твір між векторами та

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Тепер рахуємо його довжину:

Відповідь:

Тепер постарайся акуратно виконати друге завдання. Відповіддю неї: .

Координати та вектори. Короткий опис та основні формули

Вектор – спрямований відрізок. - Початок вектора, -кінець вектора.
Вектор позначається або.

Абсолютна величинавектор - довжина відрізка, що зображує вектор. Позначається як.

Координати вектора:

,
де кінці вектора \displaystyle a .

Сума векторів: .

Твір векторів:

Скалярне твір векторів:

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними:

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики,

А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень.