F ib

F in

ством сил

F 2 … F n (рис. 21) зі швидкістю υ

Модуль якої дорівнює

υ = dS, де S – дугова координата.

Проекція прискорення на дотичну дорівнює a =

Враховуючи, що швидкість υ

Складна функція часу, тобто. υ = f (S (t)),

a τ = d υ

D υ

= υ d υ.

Основне рівняння динаміки у проекції на дотичну має вигляд

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ.

точки M 1

та M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS, звідки

mυ 2

= ∑ A i.

mυ 2

Половина добутку маси матеріальної точки на квадрат швидкості

називається кінетичною енергією точки.

mυ 2 2

− кінетична енергія точки після переміщення,

− кінетична енергія точки до переміщення,

mυ 2

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Навчальні питання:

1. Робота сили.

2. Кінетична енергія точки та механічної системи.

3.Теорема про зміну кінетичної енергії точки.

4. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи.

5. Потенційне силове поле та потенційна енергія.

1. Робота сили.

Елементарна робота сили - це нескінченно мала скалярна величина, що дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор нескінченного малого переміщення точки докладання сили:

.

-прирощення радіуса-вектора точки докладання сили, годографом якого є траєкторія цієї точки. Елементарне переміщення
точки по траєкторії збігається з
в силу їх дещиці. Тому

Так як
- проекція сили на напрямок переміщення точки (при криволінійній траєкторії - на дотичну вісь до траєкторії, то

,

тобто роботу здійснює лише дотична сила, а робота нормальної сили дорівнює нулю.

Якщо
то

якщо
то

якщо
то
.

Представимо вектори і
через їх проекції на осі декартових координат:

,

Робота сили на кінцевому переміщеннідорівнює інтегральній сумі елементарних робіт на цьому переміщенні

.

.

Якщо сила стала, а точка її застосування переміщається прямолінійно, то

.

Робота сили тяжіння

де h- переміщення точки застосування сили по вертикалі вниз (висота).

При переміщенні точки застосування сили тяжіння вгору
(точка, крапка
- внизу,
- Вгорі). Отже,

.

Робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії. При русі замкнутою траєкторією (
Зівпадає з
) робота дорівнює нулю.

Праця сили пружності пружини.

Пружина розтягується лише вздовж осі х

,

де - Величина деформації пружини. При переміщенні точки застосування сили
з нижнього положення у верхній напрямок сили та напрямок переміщення збігаються, тоді
.

Тому робота сили пружності

.

Робота сил, що додаються до твердого тіла.

а) Робота внутрішніх сил

Для двох k - х точок: , т. до.
і (доводиться у кінематиці) (рис. 80).

Елементарна робота всіх внутрішніх сил у твердому тілі дорівнює нулю:

.

Отже, на будь-якому кінцевому переміщенні тіла

.

б) Робота зовнішніх сил.

Поступальний рух тіла.

Елементарна робота k-ї сили

Для всіх сил

.

Оскільки при поступальному русі, то

,

де
- проекція головного вектора зовнішніх сил напрям переміщення.

Робота сил на кінцевому переміщенні

.

Обертання тіла навколо нерухомої осі .

Елементарна робота k - й сили

де
,
і
- складові сили за природними осями

Так як
,
, то робота цих сил на переміщення
точки докладання сили дорівнює нулю. Тоді

.

Елементарна робота k - й зовнішньої сили дорівнює добутку моменту цієї сили щодо осі обертання
на елементарний кут повороту
тіла навколо осі.

Елементарна робота всіх зовнішніх сил

,

де
- Головний момент зовнішніх сил щодо осі.

Робота сил на кінцевому переміщенні

.

Якщо
, то

де
- Кінцевий кут повороту;
, де п- Число обертів тіла навколо осі.

Потужність - це робота, виконана силою за одиницю часу. Якщо робота відбувається рівномірно, то потужність

,

де А– робота, виконана силою на кінцевому переміщенні, за час t.

У загальному випадку потужність сили можна як ставлення елементарної роботи сили dAдо елементарного проміжку часу dt, за який виконана ця робота, що є похідною від роботи за часом. Тому

При обертанні тіла навколо нерухомої осі

,

де
- Кутова швидкість обертання тіла.

Одиниці виміру роботи та потужності. У системі СІ одиниця виміру роботи сили - Джоуль (1 Дж= 1 Нм),

Одиниця виміру потужності відповідно - ват (1 Вт = 1 Дж/с)

75 кГм/с = 1 л. з. (кінська сила).

1 кВт= 1000 Вт= 1,36 л. з.

Розглянемо дві довільні точки твердого тіла М 1 і М 2 є частиною механічної системи. Проведемо побудови (див. рис.14.13).

Внутрішні сили P J 1 , P J 2 , що діють з боку однієї точки на іншу, на підставі закону рівності дії та протидії рівні за модулем та протинапрямлені P J 1 = - P J 2 .

Нехай у цю мить швидкості точок рівні відповідно u 1 і u 2 і за проміжок часу приросту вздовж векторів становлять ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Т.к., на підставі одного слідства теореми про швидкості точок плоскої фігури проекції векторів швидкостей на напрямок відрізка М 1 М 2 рівні, то і проекції елементарних переміщень цих точок будуть рівні.

Тому, обчислюючи суму елементарних робіт 2-х внутрішніх сил на переміщенні, що розглядається, і враховуючи їх рівність і протиспрямованість отримаємо

P J 1 ds 1 cos(P J 1 ,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J 2 ,u 2) = P J 1 * M 1 M' 1 - P J 1 * M 2 M' 2 = 0.

Оскільки кожній внутрішній силі відповідає інша, рівна за модулем і протинапрямлена, то сума елементарних робіт усіх внутрішніх сил дорівнює нулю.

Кінцеве переміщення є сукупністю елементарних переміщень, а тому

А j = 0,

тобто. сума робіт внутрішніх сил твердого тіла на будь-якому його переміщенні дорівнює нулю.

Поступальний рух твердого тіла.

При поступальному русі твердого тіла траєкторії всіх точок тотожні і паралельні. Тому вектори елементарних рухів геометрично рівні.

Елементарна робота сили P E i

d A E i =P E i d r.

Для всіх сил буде

d A = Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

Отже,

d A = d r R E . (14-46)

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, що рухається поступально, дорівнює елементарній роботі головного вектора сил.

А = . (14-47)

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку головного моменту зовнішніх сил щодо осі обертання на приріст кута повороту.

Робота на кінцевому переміщенні

SA i = , (14-48)

де – головний момент зовнішніх сил щодо осі обертання.

Якщо головний момент постійний, то

SA i = E z = E z (j 2 – j 1).(14-49)

В цьому випадку сума робіт на кінцевому переміщенні дорівнює добутку головного моменту зовнішніх сил на зміну кінцевого кута повороту тіла.

Тоді потужність

N= = ME z dj/dt = ME z w.(14-50)

У загальному випадку рух елементарна робота зовнішніх сил, прикладених до вільного твердого тіла, дорівнює

dA = SdA i =R E d r O + M E W da,(14-51)

де M E W- головний момент зовнішніх сил щодо миттєвої осі; da- Елементарний кут повороту щодо миттєвої осі.

14.10. Опір під час кочення.

На циліндричний каток, що знаходиться на горизонтальній площині в стані спокою (рис.14.14,а) діють дві сили, що взаємно врівноважуються: вага катка G та нормальна реакція площини N = -G .

Якщо під дією горизонтальної сили Р, прикладеної в центрі катка С, він котиться по площині без ковзання, то сили G, N утворюють пару сил, що перешкоджає коченню (рис. 14.14 б).

Виникнення цієї пари сил обумовлено деформацією контактуючих поверхонь катка та площини. Лінія дії реакції N виявляється зсунутою на деяку відстань від лінії дії сили G.

Момент пари сил G, N називається моментом опору коченню. Його величина визначається твором

М спр = Nd. (14-52)

Коефіцієнт кочення виявляється у лінійних одиницях, тобто. [d]= див. Наприклад, сталевий бандаж зі сталевої рейки d= 0,005 див; дерево по сталі d= 0,03-0,04 см.

Визначимо найменшу горизонтальну силу Р , що додається до центру ковзанки.

Щоб ковзанка почала котитися, момент пари сил, складений силою Р і силою зчеплення F сц, має стати більше моменту опору, тобто.

PR> Nd.

Звідки Nd/R.

Т.к. тут N = G, то

Робота внутрішніх сил на кінцевому переміщенні дорівнює нулю.

Робота сили, що діє на тіло, що поступально рухається, дорівнює добутку цієї сили на збільшення лінійного переміщення.

Робота сили, що діє на тіло, що обертається, дорівнює добутку моменту цієї сили щодо осі обертання на прирощення кута повороту: ; . Потужність:
.

Кінетична енергія механічної системи за різних видів руху.

Кінетична енергія механічної системи- скаляр, що дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи: .

При поступальному русі:

При обертальному русі:

При плоскопаралельному русі: де d - відстань від центру мас до МЦС

27. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки.

Кінетична енергія матеріальної точки- скаляр, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Основне рівняння динаміки: , помножимо на елементарне переміщення: ; ; . Інтегруючи отриманий вираз:

Теорема: Зміна кінетичної енергії матеріальної точки на деякому переміщенні дорівнює роботі сили, що діє на точку, на тому ж переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи.

Оскільки робота внутрішніх сил дорівнює нулю, то:
.

Теорема: зміна кінетичної енергії механічної системи на кінцевому переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх сил на тому самому переміщенні.

Принцип можливих рухів для механічної системи.

; , Нехай зв'язки, накладені на точки механічної системи двосторонні, стаціонарні, голономні та ідеальні, тоді: .

Принцип можливих переміщень принцип Лагранжа- Для рівноваги механічної системи з двосторонніми, стаціонарними, голономними та ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума робіт сил, що задаються, на можливому переміщенні дорівнювала нулю.

Принцип Даламбер для матеріальної точки.

Геометрична сума всіх прикладених до рухомої матеріальної точки сил і сил інерції цієї точки дорівнює нулю

Принцип Даламбер для невільної механічної системи.

У невільній механічній системі, що рухається, для кожної матеріальної точки в будь-який момент часу геометрична сума прикладених до неї сил, реакцій зв'язку і сил інерції дорівнює нулю. Помноживши обидві частини виразу на r i отримаємо: ;
.

, сума моментів сил, реакцій зв'язку і сил інерції щодо осей координат дорівнює нулю.

Приведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого вигляду.

До системи сил інерції точок твердого тіла можна застосувати метод Пуансона, розглянутий у статиці. Тоді будь-яку систему сил інерції можна призвести до головного вектора сил інерції та головного моменту сил інерції.

При поступальному русі: Ф=-ma (при поступальному русі твердого тіла, сили інерції його точок наводяться до головного вектора сил інерції рівному за модулем добутку маси тіла, на прискорення центру мас прикладеному в цьому центрі і направленому в бік протилежного прискорення центру мас).

При обертальному русі: М=-Iε (при обертальному русі твердого тіла сили інерції його точок призводять до головного моменту сил інерції рівному добутку моменту інерції тіла щодо сил обертання на кутове прискорення. Направлений цей момент у бік протилежного кутового прискорення).

При плоскому русі: Ф=-ma М=-Iε (при плоскому русі твердого тіла сили інерції його точок призводять до головного вектора та головного моменту сил інерції).

Загальне рівняння динаміки. Принцип Даламбер-Лагранжа.

Принцип Даламбера: (P i + R i + Ф i) = 0; å(P i + R i + Ф i) Dr i = 0, вважаємо. що зв'язки, накладені на механічну систему двосторонні, стаціонарні, голономні та ідеальні, тоді: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + Ф i) Dr i = 0 - загальне рівняння динаміки- для руху механічної системи з двосторонніми, стаціонарними, голономними та ідеальними зв'язками сума робіт сил і сил інерції точок системи, що задаються, на будь-якому можливому переміщенні дорівнює нулю.

Робота сил обчислюється за формулами, отриманими у § 87 та 88. Розглянемо додатково такі випадки.

1. Робота сил тяжіння, які діють систему. Робота сили тяжіння, що діє на частинку вагою, буде дорівнює де - координати, що визначають початкове і кінцеве положення частки (див. § 88). Тоді, зваживши на те, що (див. § 32), знайдемо для суми робіт усіх сил тяжіння, що діють на систему, значення

Цей результат можна ще уявити у вигляді

де Р - вага системи - вертикальне переміщення центру мас (або центру тяжкості). Отже, робота сил тяжкості, що діють на систему, обчислюється як робота їхнього головного вектора (у разі твердого тіла рівнодіючої) Р на переміщенні центру мас системи (або центру тяжкості тіла).

2. Робота сил, прикладених до тіла, що обертається. Елементарна робота прикладеної до тіла сили F (рис. 307) дорівнюватиме (див. § 87)

тому що , де - елементарний кут повороту тіла.

Але як легко бачити,

Будемо називати величину крутним моментом. Тоді отримаємо

Отже, в даному випадку елементарна робота дорівнює добутку крутного моменту на елементарний кут повороту. Формула (46) справедлива і при дії кількох сил, якщо рахувати

При повороті на кінцевий кут робота

а у разі постійного моменту

Якщо на тіло діє пара сил, що лежить у площині перпендикулярної осі Oz, то в формулах (46)-(47) буде, очевидно, означати момент цієї пари.

Вкажемо ще, як у цьому випадку визначається потужність (див. § 87). Користуючись рівністю (46), знаходимо

Отже, при дії сил на тіло, що обертається, потужність дорівнює добутку крутного моменту на кутову швидкість тіла. При тій же потужності крутний момент буде тим більше, чим менше кутова швидкість.

3. Робота сил тертя, що діють на тіло, що котиться. На колесо радіусом R (рис. 308), що котиться по деякій площині (поверхні) без ковзання, діє прикладена в точці сила тертя , що перешкоджає ковзанню точки вздовж площини. Елементарна робота цієї сили. Але точка У цьому випадку збігається з миттєвим центром швидкостей (див. § 56) і

Так як і для кожного елементарного переміщення.

Отже, при коченні без ковзання робота сили тертя, що перешкоджає ковзанню, будь-якому переміщенні тіла дорівнює нулю. З тієї ж причини в цьому випадку дорівнює нулю і робота нормальної реакції N, якщо вважати тіла недеформованими в силу N, що додається в точці (як на рис. 308, а).