Обчислення приватних похідних другого порядку. Приватні похідні другого порядку. Знайти приватні похідні самостійно, а потім переглянути рішення

Нехай задано функцію двох змінних. Дамо аргументу збільшення, а аргумент залишимо незмінним. Тоді функція отримає збільшення, яке називається приватним збільшенням за змінною і позначається:

Аналогічно, фіксуючи аргумент і надаючи аргументу прирощення, отримаємо приватне збільшення функції за змінною:

Величина називається повним збільшенням функції в точці.

Визначення 4. Приватної похідної функції двох змінних однією з цих змінних називається межа відношення відповідного приватного збільшення функції до збільшення даної змінної, коли останнє прагне нуля (якщо ця межа існує). Позначається приватна похідна так: або, або.

Таким чином, за визначенням маємо:

Приватні похідні функції обчислюються за тими самими правилами і формулами, як і функція однієї змінної, у своїй враховується, що з диференціюванні по змінної, вважається постійної, а при диференціюванні по змінної постійної вважається.

Приклад 3. Знайти приватні похідні функції:

Рішення. а) Щоб знайти вважаємо постійною величиною та диференціюємо як функцію однієї змінної:

Аналогічно, вважаючи постійною величиною, знаходимо:

Визначення 5. Повним диференціалом функції називається сума творів приватних похідних цієї функції на збільшення відповідних незалежних змінних, тобто.

З огляду на, що диференціали незалежних змінних збігаються зі своїми приростами, тобто. , формулу повного диференціала можна записати у вигляді

Приклад 4. Визначити повний диференціал функції.

Рішення. Оскільки за формулою повного диференціалу знаходимо

Приватні похідні найвищих порядків

Приватні похідні називають приватними похідними першого порядку або першими приватними похідними.

Визначення 6. Приватними похідними другого порядку функції називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.

Приватних похідних другого порядку чотири. Вони позначаються так:

Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го та більш високих порядків. Наприклад, для функції маємо:

Приватні похідні другого або вищого порядку, взяті з різних змінних, називаються змішаними приватними похідними. Для функції є похідні. Зауважимо, що у випадку, коли змішані похідні безперервні, має місце рівність.

Приклад 5. Визначити приватні похідні другого порядку функції

Рішення. Приватні похідні першого порядку цієї функції знайдено у прикладі 3:

Диференціюючи і змінними х і y, отримаємо

Вирішувати фізичні завдання або приклади з математики абсолютно неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний сенс похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції у точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX та дотичною до графіка функції у цій точці.

Фізичний сенс похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів усім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це треба робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення складних похідних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу по незалежній змінній.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

Розглянемо функцію від двох змінних:

Оскільки змінні $x$ і $y$ є незалежними, для такої функції можна запровадити поняття приватної похідної:

Приватна похідна функції $f$ у точці $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за змінною $x$ - це межа

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Аналогічно можна визначити приватну похідну за змінною $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Іншими словами, щоб знайти приватну похідну функції кількох змінних, потрібно зафіксувати решту змінних, крім шуканої, а потім знайти звичайну похідну за цією шуканою змінною.

Звідси випливає основний прийом для обчислення таких похідних: просто вважайте, що всі змінні, крім цієї, є константою, після чого диференціюйте функцію так, як диференціювали б «звичайну» - з однією змінною. Наприклад:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Очевидно, що приватні похідні з різних змінних дають різні відповіді — це нормально. Куди важливіше розуміти, чому, скажімо, у першому випадку ми спокійно винесли $10y$ з-під похідної знака, а в другому — зовсім обнулили перший доданок. Все це відбувається через те, що всі літери, крім змінної, за якою йде диференціювання, вважаються константами: їх можна виносити, спалювати і т.д.

Що таке "приватна похідна"?

Сьогодні ми поговоримо про функції кількох змінних та про приватні похідні від них. По-перше, що таке функція кількох змінних? Досі ми звикли вважати функцію як $y\left(x \right)$ або $t\left(x \right)$, або будь-яку змінну та одну-єдину функцію від неї. Тепер функція в нас буде одна, а змінних кілька. У разі зміни $y$ та $x$ значення функції змінюватиметься. Наприклад, якщо $x$ збільшиться вдвічі, значення функції зміниться, при цьому якщо $x$ зміниться, а $y$ не зміниться, значення функції так само зміниться.

Зрозуміло, функцію від кількох змінних, так само як і від однієї змінної, можна диференціювати. Однак оскільки змінних кілька, то й диференціювати можна з різних змінних. У цьому виникають специфічні правила, яких був при диференціюванні однієї змінної.

Перш за все, коли ми вважаємо похідну функції від будь-якої змінної, то повинні вказувати, за якою змінною ми вважаємо похідну - це і називається приватною похідною. Наприклад, у нас функція від двох змінних, і ми можемо порахувати її як $x$, так і $y$ — дві приватних похідних у кожної зі змінних.

По-друге, щойно ми зафіксували одну зі змінних і починаємо вважати приватну похідну саме за нею, то всі інші, що входять до цієї функції, вважаються константами. Наприклад, $z\left(xy \right)$, якщо ми вважаємо приватну похідну по $x$, то скрізь, де ми зустрічаємо $y$, ми вважаємо її константою і звертаємося з нею саме як з константою. Зокрема при обчисленні похідної твори ми можемо виносити $y$ за дужку (у нас же константа), а при обчисленні похідної суми, якщо у нас десь виходить похідна від виразу, що містить $y$ і не містить $x$, то похідна цього виразу дорівнюватиме «нулю» як похідна константи.

На перший погляд може здатися, що я розповідаю про щось складне, і багато учнів спочатку плутаються. Проте нічого надприродного у приватних похідних немає, і ми переконаємося у цьому з прикладу конкретних завдань.

Завдання з радикалами та багаточленами

Завдання №1

Щоб не гаяти часу, з самого початку почнемо з серйозних прикладів.

Для початку нагадаю таку формулу:

Це стандартне табличне значення, яке ми знаємо із стандартного курсу.

У цьому випадку похідна $z$ вважається так:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Давайте ще раз, оскільки під корінням стоїть не $x$, а якийсь інший вираз, в даному випадку $\frac(y)(x)$, то спочатку ми скористаємося стандартним табличним значенням, а потім, оскільки під корінням стоїть не $x $, а інший вираз, нам необхідно примножити нашу похідну на ще одну з цього виразу за тією ж змінною. Давайте для початку порахуємо наступне:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Повертаємось до нашого виразу та записуємо:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

У принципі це все. Однак залишати її в такому вигляді неправильно: таку конструкцію незручно використовувати для подальших обчислень, тому давайте її трохи перетворимо:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Відповідь знайдено. Тепер займемося $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Випишемо окремо:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Тепер записуємо:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Все зроблено.

Завдання №2

Цей приклад одночасно і простіше і складніше, ніж попередній. Складніше, тому що тут більше дій, а простіше, тому що тут немає кореня та, крім того, функція симетрична щодо $x$ та $y$, тобто. якщо ми поміняємо $x$ та $y$ місцями, формула від цього не зміниться. Це зауваження надалі спростить обчислення приватної похідної, тобто. Достатньо порахувати одну з них, а в другій просто поміняти місцями $x$ і $y$.

Приступаємо до справи:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Давайте порахуємо:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Проте багатьом учням такий запис незрозумілий, тому запишемо ось так:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Таким чином, ми ще раз переконуємося в універсальності алгоритму приватних похідних: яким би ми їх не вважали, якщо всі правила застосовуються правильно, відповідь буде та сама.

Тепер давайте розберемося ще з однією приватною похідною нашої великої формули:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Підставимо отримані висловлювання на нашу формулу і отримаємо:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left(((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ пораховано. А щоб порахувати $y$ від того самого виразу, давайте не будемо виконувати всю ту ж послідовність дій, а скористаємося симетрією нашого вихідного виразу - ми просто замінимо в нашому вихідному виразі всі $y$ на $x$ і навпаки:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

За рахунок симетрії ми порахували цей вираз набагато швидше.

Нюанси вирішення

Для приватних похідних працюють всі стандартні формули, які ми використовуємо для звичайних, а саме похідна приватного. При цьому, однак, виникають свої специфічні особливості: якщо ми вважаємо приватну похідну $x$, то коли ми отримуємо її по $x$, то розглядаємо її як константу, і тому її похідна дорівнюватиме «нулю».

Як і у випадку зі звичайними похідними, приватну (одну й ту саму) можна порахувати кількома різними способами. Наприклад, ту ж конструкцію, яку ми щойно порахували, можна переписати так:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Разом про те, з іншого боку, можна використовувати формулу від похідної суми. Як ми знаємо, вона дорівнює сумі похідних. Наприклад, запишемо таке:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Тепер, знаючи все це, давайте спробуємо попрацювати з більш серйозними висловлюваннями, оскільки справжні приватні похідні не обмежуються одними лише багаточленами та корінням: там зустрічаються і тригонометрія, і логарифми, і показова функція. Тепер цим і займемося.

Завдання з тригонометричними функціями та логарифмами

Завдання №1

Запишемо такі стандартні формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Озброївшись цими знаннями, спробуємо вирішити:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо випишемо одну змінну:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Повертаємось до нашої конструкції:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все, по $x$ ми знайшли, тепер давайте займемося обчисленнями $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Знову ж таки порахуємо один вираз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Повертаємося до вихідного виразу та продовжуємо вирішення:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все зроблено.

Завдання №2

Запишемо необхідну нам формулу:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Тепер порахуємо за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

За $x$ знайдено. Вважаємо по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Завдання вирішено.

Нюанси вирішення

Отже, від якої функції ми не брали приватну похідну, правила залишаються одними і тими ж, незалежно від того, чи працюємо ми з тригонометрією, з корінням або з логарифмами.

Незмінними залишаються класичні правила роботи зі стандартними похідними, а саме, похідна суми та різниці, приватної та складної функції.

Остання формула найчастіше зустрічається під час вирішення завдань із приватними похідними. Ми зустрічаємося з ними практично скрізь. Жодного завдання ще не було, щоб там нам воно не траплялося. Але якою б ми не скористалися формулою, нам все одно додається ще одна вимога, а саме, особливість роботи з приватними похідними. Щойно ми фіксуємо одну змінну, решта виявляються константами. Зокрема, якщо ми вважаємо приватну похідну виразу $\cos \frac(x)(y)$ $y$, то саме $y$ і є змінною, а $x$ скрізь залишається константою. Те саме працює і навпаки. Її можна виносити за знак похідної, а похідна від самої константи дорівнюватиме «нулю».

Все це призводить до того, що приватні похідні від одного й того ж виразу, але з різних змінних можуть виглядати по-різному. Наприклад, подивимося такі вирази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Завдання з показовими функціями та логарифмами

Завдання №1

Для початку запишемо таку формулу:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаючи цей факт, а також похідну складної функції, спробуємо порахувати. Я зараз вирішу двома різними способами. Перший і найочевидніший — це похідна робота:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте вирішимо окремо такий вираз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Повертаємося до нашої вихідної конструкції та продовжуємо вирішення:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y) \right)\]

Все, $x$ пораховано.

Однак, як я і обіцяв, зараз постараємося порахувати цю ж приватну похідну іншим способом. Для цього зауважимо таке:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

У цьому запишемо так:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В результаті ми отримали таку саму відповідь, проте обсяг обчислень виявився меншим. Для цього досить було помітити, що при добутку показники можна складати.

Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Давайте вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Продовжимо вирішення нашої вихідної конструкції:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Зрозуміло, цю ж похідну можна було б порахувати другим способом, відповідь вийшла б такою самою.

Завдання №2

Порахуємо за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте порахуємо один вираз окремо:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]

Продовжимо рішення вихідної конструкції: $$

Ось така відповідь.

Залишилось за аналогією знайти по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Один вираз порахуємо як завжди окремо:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Продовжуємо вирішення основної конструкції:

Все пораховано. Як бачите, залежно від того, яка змінна береться для диференціювання, відповіді виходять абсолютно різні.

Нюанси вирішення

Ось яскравий приклад того, як похідну однієї і тієї ж функції можна вважати двома різними способами. Ось дивіться:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

При виборі різних шляхів, обсяг обчислень може бути різний, але відповідь, якщо все виконано правильно, вийде одним і тим же. Це стосується як класичних, і приватних похідних. У цьому ще раз нагадую: залежно від цього, якою змінної йде взяття похідної, тобто. диференціювання, відповідь може вийти зовсім різною. Подивіться:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Насамкінець для закріплення всього цього матеріалу давайте спробуємо порахувати ще два приклади.

Завдання з тригонометричною функцією та функцією з трьома змінними

Завдання №1

Давайте запишемо такі формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Давайте тепер вирішувати наш вираз:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо порахуємо таку конструкцію:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продовжуємо вирішувати вихідний вираз:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Це остаточна відповідь приватної змінної $x$. Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Вирішуємо до кінця нашу конструкцію:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Завдання №2

На перший погляд, цей приклад може здатися досить складним, бо тут три змінні. Насправді це одне з найпростіших завдань у сьогоднішньому відеоуроці.

Знаходимо по $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Тепер розберемося з $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Ми знайшли відповідь.

Тепер залишається знайти $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Ми порахували третю похідну, на чому вирішення другого завдання повністю завершене.

Нюанси вирішення

Як бачите, нічого складного у цих двох прикладах немає. Єдине, у чому ми переконалися, то це в тому, що похідна складної функції застосовується часто і залежно від того, яку приватну похідну ми вважаємо, ми отримуємо різні відповіді.

В останній задачі нам було запропоновано розібратися з функцією відразу від трьох змінних. Нічого страшного в цьому немає, проте наприкінці ми переконалися, що вони один від одного істотно відрізняються.

Ключові моменти

Остаточні висновки із сьогоднішнього відеоуроку такі:

Приватні похідні вважаються так само, як і звичайні, при цьому, щоб вважати приватну похідну по одній змінній, решта всіх змінних, що входять в цю функцію, ми приймаємо за константи.
Працюючи з приватними похідними ми використовуємо ті самі стандартні формули, як і з звичайними похідними: суму, різницю, похідну твори і приватного і, зрозуміло, похідну складної функції.

Звичайно, перегляду одного цього відеоуроку недостатньо, щоб повністю розібратися в цій темі, тому зараз на моєму сайті саме до цього відео є комплект завдань, присвячених саме сьогоднішній темі - заходьте, завантажуйте, вирішуйте ці завдання і звіряйтеся з відповіддю. І після цього жодних проблем із приватними похідними ні на іспитах, ні на самостійних роботах у вас не буде. Звичайно, це далеко не останній урок з вищої математики, тому заходьте на наш сайт, додавайте ВКонтакте, підписуйтесь на YouTube, ставте лайки і залишайтеся з нами!

Приватні похідні застосовуються у завданнях із функціями кількох змінних. Правила знаходження точно такі ж як і для функцій однієї змінної, з різницею лише в тому, що одну із змінних слід вважати в момент диференціювання константою (постійним числом).

Формула

Приватні похідні для функції двох змінних $ z (x, y) $ записуються в наступному вигляді $ z "_x, z"_ y $ і знаходяться за формулами:

Приватні похідні першого порядку

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Приватні похідні другого порядку

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Змішана похідна

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Приватна похідна складної функції

а) Нехай $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, тоді похідна складної функції визначається за формулою:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) Нехай $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тоді приватні похідні функції перебувають за формулою:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Приватні похідні неявно заданої функції

а) Нехай $ F(x,y(x)) = 0 $, тоді $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

б) Нехай $ F (x, y, z) = 0 $, тоді $ $ z "_x = - \ frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Приклади рішень

Приклад 1
Знайти приватні похідні першого порядку $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$
Рішення
Для знаходження приватної похідної по $ x $ будемо вважати $ y $ постійною величиною (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для знаходження приватної похідної функції по $ y $ визначимо $ y $ константою: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!
Відповідь
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Приклад 2
Знайти приватні похідні функції другого порядку $ z = e ^ (xy) $
Рішення
Спочатку потрібно знайти перший похідні, а потім знаючи їх можна знайти похідні другого порядку. Вважаємо $ y $ константою: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Покладемо тепер $ x $ постійною величиною: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Знаючи перші похідні, аналогічно знаходимо другі. Встановлюємо $ y $ постійною: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задаємо $ x $ постійної: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Тепер лишилося знайти змішану похідну. Можна продиференціювати $ z"_x $ по $ y $, а можна $ z"_y $ по $ x $, тому що за теоремою $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$
Відповідь
$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Приклад 4
Нехай $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ ставить неявну функцію $ F (x, y, z) = 0 $. Знайти приватні похідні першого порядку.
Рішення
Записуємо функцію у форматі: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ і знаходимо похідні: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
Відповідь
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Визначення 1.11Нехай задана функція двох змінних z=z(x,y), (x,y)D . Точка, крапка M 0 (x 0 ;y 0 ) - внутрішня точка області D .

Якщо в D є така околиця UM 0 точки M 0 , що для всіх точок

то точка M 0 називається точкою локального максимуму. А саме значення z(M 0 ) - локальним максимумом.

А якщо для всіх точок

то точка M 0 називається точкою локального мінімуму функції z(x,y) . А саме значення z(M 0 ) - Локальним мінімумом.

Локальний максимум та локальний мінімум називаються локальними екстремумами функції z(x,y) . На рис. 1.4 пояснюється геометричний зміст локального максимуму: M 0 - точка максимуму, тому що на поверхні z = z (x, y) відповідна їй точка C 0 знаходиться вище будь-якої сусідньої точки C (У цьому локальність максимуму).

Зауважимо, що на поверхні загалом є точки (наприклад, В ), які знаходяться вище C 0 , але ці точки (наприклад, В ) не є "сусідними" з точкою C 0 .

Зокрема, точці В відповідає поняття глобального максимуму:

Аналогічно визначається і глобальний мінімум:

Знаходження глобальних максимумів та мінімумів буде розглянуто у п.1.10.

Теорема 1.3(Необхідні умови екстремуму).

Нехай задана функція z = z (x, y), (x, y) D . Точка, крапка M 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального екстремуму.

Якщо у цій точці існують z" x і z" y , то

Геометричне підтвердження " очевидно " . Якщо у точці C 0 на (рис.1.4) провести дотичну площину, вона "природно" пройде горизонтально, т. е. під кутом 0° до осі Ох і до осі Оу .

Тоді відповідно до геометричного змісту приватних похідних (рис.1.3):

що і потрібно було довести.

Визначення 1.12.

Якщо у точці M 0 виконуються умови (1.41), то вона називається стаціонарною точкою функції z (x, y) .

Теорема 1.4(Достатні умови екстремуму).

Нехай задана z = z (x, y), (x, y) D , яка має приватні похідні другого порядку в деякій околиці точки M 0 (x 0 ,y 0 )D . Причому M 0 - стаціонарна точка (тобто необхідні умови (1.41) виконані). Обчислимо: