Золотий перетин у рослинах Виконала: Колчина Л.А. Золотий переріз та симетрія Приклади золотого перерізу на землі

У біологічних дослідженнях 70-90 років. показано, що, починаючи з вірусів і рослин і закінчуючи організмом людини, всюди виявляється золота пропорція, що характеризує пропорційність і гармонійність їхньої будови. Золотий переріз визнано універсальним законом живих систем. Можна відзначити два види проявів золотого перерізу в живій природі: ірраціональні відносини за Піфагором - 1.62 і цілими, дискретні - по Фібоначчі.

Було встановлено, що числова кількість чисел Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем. Наприклад, гвинтове листорозташування на гілці становить дріб (кількість обертів на стеблі/число листя в циклі, напр. 2/5; 3/8; 5/13), що відповідає рядам Фібоначчі. Добре відома "золота" пропорція п'ятипелюсткових квіток яблуні, груші та багатьох інших рослин. Носії генетичного коду – молекули ДНК та РНК – мають структуру подвійної спіралі; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі.

Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривого життя". Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшника, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перетину. Квітки і насіння соняшника, ромашки, лусочки в плодах ананаса, хвойних шишках "упаковані" за логарифмічними ("золотими") спіралями, що завиваються назустріч один одному, причому числа "правих" та "лівих" спіралей завжди відносяться один до одного, як сусідні числа Фібоначі.

Придивимося уважно до втечі цикорію. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид.

Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток також підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

У багатьох метеликів співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто розвести крила, і ви побачите той самий принцип членування тіла на 2,3,5,8. Бабка також створена за законами золотої пропорції: відношення довжин хвоста і корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції – довжина її хвоста так належить до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напряму зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого

Великий Гете, поет, природознавець і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Можна помітити золоті пропорції, якщо уважно подивитися на птахове яйце.

Коли дивимося на красивий краєвид, ми охоплюємо все навколо. Потім приділяємо увагу деталям. Річці, що дзюрчить або дереву величному. Бачимо поле зелене. Помічаємо, як вітер його обіймає ніжно і журя хитає з боку на бік траву. Можемо відчути аромат природи і почути спів птахів ... Все гармонійно, все взаємопов'язане і дає почуття умиротворення, прекрасного. Куди ви сядете на лаві: на край, на середину або в будь-яке місце? Більшість відповість, що трохи далі від середини. Приблизна кількість у пропорції лави від вашого тіла до краю буде 1,62. Так і в кінотеатрі, в бібліотеці - скрізь. Інстинктивно створюємо гармонію красу, яку у всьому світі називаю "Золотим перетином".

Золотий переріз у математиці

Ви замислювалися, чи можна визначити міру краси? Виявляється, з математичного погляду можливо. Проста арифметика дає поняття про абсолютну гармонію, яка і відображається у бездоганній красі завдяки принципу Золотого перетину. Архітектурні спорудиін Єгипту і Вавилона першими почали відповідати цьому принципу. Але сформулював принцип першим Піфагором. У математиці цей поділ відрізка трохи більше половини, а точніше 1,628. Це співвідношення представляється як ? =0,618 = 5/8. Невеликий відрізок = 0,382 = 3/8, а повністю відрізок приймаємо за одиницю.

А:B=B:C та C:B=B:A

Від принципу золотого перетину відштовхувалися і великі письменники, архітектори, скульптори, музиканти, - люди мистецтва, і християни, що малюють піктограми (п'ятикутні зірки і т.д.) з його елементами в храмах, рятуючись від нечисті, і люди, які вивчають точні науки, вирішальна проблема кібернетики.

Золотий переріз у природі та явищах.

Все на землі набуваючи форми, росте вгору, убік або по спіралі. Останньому уважно приділив увагу Архімед, склавши рівняння. По ряду Фібоначчі влаштована шишка, черепашка, ананас, соняшник, ураган, павутина, молекула ДНК, яйце, бабка, ящірка.

Тіціріус довів, що весь наш Всесвіт, космос, галактичний простір – все сплановано виходячи із Золотого принципу. Абсолютно у всьому живому та не живому можна прочитати найвищу красу.

Золотий перетин у людині.

Кістки продумані природою теж згідно з пропорцією 5/8. І це виключає застереження людей про “кісті широкі”. Більшість частин тіла у співвідношеннях застосовуються до рівняння. Якщо всі частинки тіла підкоряються Золотій формулі, тоді зовнішні дані будуть дуже привабливі та ідеально складені.

Відрізок від плечей до верху голови та її розміру = 1:1.618
Відрізок від пупа до верху голови та від плечей до верху голови = 1:1.618
Відрізок від пупа до колін і від них до ступнів ніг = 1:1.618
Відрізок від підборіддя до крайньої точки верхньої губи і її до носа = 1 :1 .618

Усевідстані особи дають загальне уявлення про ідеальні пропорції, що привертають погляд.
Пальці, долоня, теж підкоряються закону. Необхідно ще зазначити, що відрізок розставлених рук з тулубом дорівнює зростанню людини. Та що там, всі органи, кров, молекули відповідають Золотій формулі. Справжня гармонія всередині та зовні нашого простору.

Параметри із фізичного боку навколишніх факторів.

Гучність звуку. Вища точка звуку, що викликає не комфортне відчуття та біль у вушній раковині = 130 децибелів. Це число можна розділити пропорцією 1618, тоді виходить, що звук людського крику буде = 80 децибел.
Тим же способом рухаючись далі отримуємо 50 децибелів, що характерно для нормальної гучності мови людини. І останній звук, який отримаємо завдяки формулі, – приємний звук шепоту = 2,618.
За даним принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне та максимальне число температури, тиску, вологості. Проста арифметика гармонії закладена в усьому нашому оточенні.

Золотий перетин у мистецтві.

В архітектурі найвідоміші будівлі та споруди: єгипетські піраміди, піраміди Майя в Мексиці, Нотр-Дам де Парі, Парфенон грецький, Петровський палац та інші.

У музиці: Аренський, Бетховен, Гаван, Моцарт, Шопен, Шуберт та інші.

У живопису: майже всі картини знаменитих художників написані згідно з перерізом: різносторонній Леонардо да Вінчі і неповторний Мікеланджело, такі рідні в писанні Шишкін з Суріковим, ідеал найчистішого мистецтва - іспанець Рафаель, і ідеал жіночої краси - італієць Боттічеллі, і багато хто.

У поезії: впорядкована мова Олександра Сергійовича Пушкіна, особливо “Євгеній Онєгін” і вірш “Швець”, поезія чудових Шота Руставелі і Лермонтова, та інших великих майстрів слова.

У скульптурі: статуя Аполлона Бельведерського, Зевса Олімпійського, прекрасної Афіни та граціозної Нефертіті, та інші скульптури та статуї.

У фотографії використовується "правило третього". Принцип такий: композиція ділиться на 3 рівні частини по вертикалі та по горизонталі, ключові моменти розташовуються або на лініях перетину (горизонт) або в точках перетинів (об'єкті). Таким чином, пропорції рівні 3/8 і 5/8.
Відповідно до Золотого перерізу є багато хитрощів, які варто розібрати детально. Їх опишу докладно у наступному.

Учні 9 "А" класу

Ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне та викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій. Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам. Даний проект присвячений одному з таких математичних співвідношень, там, де воно є, відчувається гармонія та краса.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Суть та застосування золотого перетину в житті людини

Актуальність теми Яка роль золотого перетину у житті людини? Ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне та викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій. Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам. Даний проект присвячений одному з таких математичних співвідношень, там, де воно є, відчувається гармонія та краса.

Проблемні питання Де у житті зустрічається золотий перетин? У яких областях застосовується золотий перетин?

Мета: 1. Розширити кругозір учнів, сприяти розвитку пізнавального інтересу. 2. Показати школярам загальноінтелектуальне значення математики. 3. Сприяти пізнанню законів краси та гармонії навколишнього світу.

1. Вивчити геометричне визначення "золотого перерізу"; 2. Вивчити властивості алгебри золотої пропорції; 3. Дізнатись про застосування золотого перетину в математиці; 4. Вивчити застосування золотого перетину у житті; 5. Сприяти пізнанню законів краси та гармонії навколишнього світу; 6. Показати школярам загальноінтелектуальне значення математики. Завдання

Методи 1.Обробка інформації 2.Анкетування учнів 3.Робота з різними джерелами 4.Робота з комп'ютером

План дослідження 1. Поняття «Золотий переріз» 2. Історична довідка 3. Геометрична побудова «золотого перерізу» 4. Поняття Золотого трикутника 5. Поняття Золотого прямокутника 6. Поняття Золотої спіралі 7. Побудова правильного п'ятикутника 8. Символ «9. «Золотий перетин» у: - природі - мистецтві - архітектурі

Хід роботи над проектом Організаційний момент 2. Визначення мети та завдань 3. Висунення гіпотези 4. Розподіл на групи 5. Збір теоретичного матеріалу 6. Анкетування 7. Аналіз та обробка інформації 8. Демонстрація проекту

Опитування: Чи знаєте Ви про «Золотий перетин»? Чи хотіли Ви більше дізнатися про «Зотолом перетину»? Чи хочете Ви дізнатися про «Золотий перетин»?

Геометрія володіє двома скарбами: один з них – теорема Піфагора, інше- розподіл відрізка в середньому та крайньому відношенні. І. Кеплер

Що таке золотий перетин?

з: b = b: a a: b = b: c Золотий переріз - це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

При золотому перерізі довжина більшого відрізка є середнє пропорційне довжині всього відрізка та його найменшої частини.

чисельне значення "золотого відношення"

Пентаграма постать утворена діагоналями правильного п'ятикутника, тобто. правильна п'ятикутна зірка. Діагоналями правильного п'ятикутника діляться точкою перетину " золотої пропорції " , тобто. виконується вже відома нам рівність:

Золоті трикутники Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Властивості кут при вершині дорівнює 36; основа, відкладена на бік ділить її в пропорції "золотого перерізу"   АС: С D = CD: AD CD = BC

Числа Фібоначчі З золотою пропорцією тісно пов'язаний ряд чисел Фібоначчі: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д Фібоначчі: "... кожен член ряду, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх "Кеплер: "... відношення поруч чисел, що стоять, в межі прагне до золотої пропорції Фібоначчі. Ця властивість властива не тільки числам Фібоначчі"

Основні пропорції в людській фігурі та обличчі

висота обличчя (до коріння волосся) відноситься до вертикальної відстані між дугами брів і нижньою частиною підборіддя, як відстань між нижньою частиною носа та нижньою частиною підборіддя

Золота пропорція використовувалася багатьма античними скульпторами. Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

Аполлон Бельведерський

Зевс Афіна Олімпійський Парфенос

Вимірювання кількох тисяч людських тіл дозволили виявити: - для немовлят це відношення дорівнює - 1/1 для дорослих чоловіків - 13/8 = 1,625 для дорослих жінок - 8/5 = 1,6 Отже пропорції чоловіків ближче до "золотого перетину" ніж пропорції жінок .

«Золотий перетин» у живописі

Одне з найвідоміших творівмистецтва – портрет Мони Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя засяяло світлом, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена – художник пробудив байдужу статую; посмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижний, загадковий і трохи лукавий вираз, як у людини, яка дізналася про таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що освітлював його нудну модель.

Шишкін - " Сосновий ГайНа цій знаменитій картині І. І. Шишкіна з очевидністю проглядаються мотиви золотого перетину.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, вони поділяють величину зображення по горизонталі та вертикалі у золотому перерізі, тобто. розташовані вони на відстані приблизно 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.

"Золотий перетин" в архітектурі

" Архітектура - найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі ... До цього досягненню служить керівництвом знання пропорції, перспектива, механіка або взагалі фізика, а всім їм спільним вождем є розум." В.Баженов

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.)

На малюнках видно цілий рядзакономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618 ... На плані підлоги Парфенона можна помітити «золоті прямокутники».

Пантеон Архітектурні будинки виконані на основі "золотого перетину"

Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі):

Архітектурні будівлі виконані на основі "золотого перетину"

Будинок Пашкова в Москві Архітектурні будівлі виконані на основі "золотого перетину"

Алгебра музики Музика - мистецтво звуку, ...звук - сама матерія музики... звук має бути закутий у тишу, звук має спочивати в тиші, як дорогоцінний каміньв оксамитової скриньці. Генріх Нейгауз

Найбільша кількість музичних творів, що мають "золотий перетин", у геніальних авторів Гайдна (97%), Аренського (95%), Скрябіна (90%), Шопена (92%). Бетховен (97%) Моцарт (91%) Шуберт (91%)

У 1770 творах 42 композиторів спостерігалося 3275 золотих перерізів. У 27 етюд ах Шопена виявлено 154 золоті перерізи, всього у трьох етюдах золотий перетин був відсутній.

Математика віршів У будові багатьох художніх творів проявляються золота пропорція та числа Фібоначчі. А.С.Пушкін. 1829-1836 р.р. 109 віршів – 4 до 116 рядків. Середній розмір цих віршів становив 88 рядків. Вірші Виділяються найбільш поширені розміри - 5,8,13,21,34 - близькі до числа ряду Фібоначчі

В.Я. Брюсов. 18 82 -1 912 р.р. 360 вірш творів по 8 – 36 рядків. Середній розмір цих віршів становив 18 рядків. Виділяються найбільш поширені розміри - 8,13,21,34 - близькі до числа ряду Фібоначчі

Проза А.С.Пушкін. "Пікова дама" 6 розділ 853 рядків. Кульмінація – 535-й рядок  853:535 =1,6 1 розділ 110 рядків. Кульмінація – 68-й рядок  110:68 =1,62 2 розділ 219 рядків. Кульмінація – 135-й рядок  219:135 =1,62 3 розділ 212 рядків. Кульмінація – 131-й рядок  212:131 =1,62 4 розділ 113 рядків. Кульмінація – 70-й рядок  113:70 =1,614 5 розділ 75 рядків. Кульмінація – 46-й рядок  75:46 =1,63 6 розділ 124 рядки. Кульмінація – 77-й рядок  124:77 =1,62 Золота пропорція – це гармонія. Таким чином почуття гармонії у А.С.Пушкіна було розвинене надзвичайно, що підтверджує геніальність великого поета та письменника

Геометрія володіє двома скарбами: один з них - це теорема Піфагора, а інше - розподіл відрізка в крайньому та середньому відношенні. Перше можна порівняти із мірою золота; друге ж нагадує дорогоцінний камінь. Йоганн Кеплер

Висновок Ми простежили і побачили, що “золотий перетин” широко застосовується у багатьох галузях науки. Тому воно "золоте".

Золотий переріз – це універсальний прояв структурної гармонії.

Воно зустрічається в природі, науці, мистецтві - у всьому, з чим може зіткнутися людина. Якось познайомившись із золотим правилом, людство більше йому не змінювало.

Визначення золотого перетину

Найбільш ємне визначення золотого перерізу свідчить, що менша частина відноситься до більшої до всього цілого. Приблизна його величина – 1,6180339887. У заокругленому відсотковому значенні пропорції частин цілого співвідноситимуться як 62% на 38%. Це співвідношення діє формах простору і часу.

Стародавні бачили в золотому перетині відображення космічного порядку, а Йоган Кеплер називав його одним із скарбів геометрії. Сучасна наука розглядає золотий перетин як «асиметричну симетрію», називаючи його у широкому значенні універсальним правилом, що відображає структуру та порядок нашого світоустрою.

Історія золотого перерізу

Уявлення про золоті пропорції мали стародавні єгиптяни, знали про них і на Русі, але вперше науково золотий переріз пояснив чернець Лука Пачолі у книзі «Божественна пропорція» (1509), ілюстрації до якої, ймовірно, зробив Леонардо да Вінчі. Пачолі вбачав у золотому перерізі божественне триєдність: малий відрізок уособлював Сина, великий – Батька, а ціле – Святий дух.

Безпосереднім чином із правилом золотого перерізу пов'язане ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі. В результаті вирішення одного із завдань учений вийшов на послідовність чисел, відому зараз як ряд Фібоначчі: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. На відношення цієї послідовності до золотої пропорції звернув увагу Кеплер: «Влаштована вона так, що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та сама пропорція зберігається до нескінченності ». Нині ряд Фібоначчі - це арифметична основа для розрахунків пропорцій золотого перетину у всіх його проявах.

Леонардо да Вінчі також багато часу присвятив вивченню особливостей золотого перетину, швидше за все саме йому належить і сам термін. Його малюнки стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, доводять, що кожен із отриманих при перетині прямокутників дає співвідношення сторін у золотому розподілі.

Згодом правило золотого перетину перетворилося на академічну рутину, і лише філософ Адольф Цейзінг у 1855 році повернув йому друге життя. Він довів до абсолюту пропорції золотого перетину, зробивши їх універсальними всім явищ навколишнього світу. Втім, його «математичне естетство» викликало чимало критики.

Золотий переріз у природі

Навіть не вдаючись у розрахунки, золотий переріз можна легко виявити в природі. Так, під нього потрапляють співвідношення хвоста і тіла ящірки, відстані між листям на гілці, є золотий переріз і у формі яйця, якщо умовну лінію провести через його ширшу частину.

Білоруський вчений Едуард Сороко, який вивчав форми золотих поділів у природі, зазначав, що все, що росте і прагне зайняти своє місце в просторі, наділене пропорціями золотого перетину. На його думку, одна з найцікавіших форм – це закручування по спіралі.

Ще Архімед, приділяючи увагу спіралі, вивів на основі її форми рівняння, яке і зараз застосовується у техніці. Пізніше Гете відзначав тяжіння природи до спіральних форм, називаючи спіраль «кривий життя». Сучасними вченими було встановлено, що такі прояви спіральних форм у природі як раковина равлика, розташування насіння соняшника, візерунки павутини, рух урагану, будова ДНК і навіть структура галактик містять у собі ряд Фібоначчі.

Золотий перетин та людина

Модельєри та дизайнери одягу всі розрахунки роблять, виходячи із пропорцій золотого перетину. Людина – це універсальна форма перевірки законів золотого перетину. Звичайно, від природи далеко не у всіх людей пропорції є ідеальними, що створює певні складнощі з підбором одягу.

У щоденнику Леонардо да Вінчі є малюнок вписаного в коло оголеної людини, що перебуває у двох накладених один на одного позиціях. Спираючись на дослідження римського архітектора Вітрувія, Леонардо намагався встановити пропорції людського тіла. Пізніше французький архітектор Ле Корбюзьє, використовуючи «Вітрувіанську людину» Леонардо, створив власну шкалу «гармонічних пропорцій», що вплинула на естетику архітектури XX століття.

Адольф Цейзінг, досліджуючи пропорційність людини, виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл, а також безліч античних статуй і вивів, що золотий переріз висловлює середньостатистичний закон. У людині йому підпорядковані майже всі частини тіла, але головний показник золотого перерізу це розподіл тіла точкою пупу.

В результаті вимірювань дослідник встановив, що пропорції чоловічого тіла 13:8 ближчі до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла – 8:5.

Мистецтво просторових форм

Художник Василь Суріков говорив, «що у композиції є незаперечний закон, коли в картині не можна нічого не прибрати, не додати, навіть зайву точку поставити не можна, це справжня математика». Довгий час художники дотримувалися цього закону інтуїтивно, але після Леонардо да Вінчі процес створення живописного полотна не обходиться без вирішення геометричних завдань. Наприклад, Альбрехт Дюрер для визначення точок золотого перерізу використовував винайдений пропорційний циркуль.

Мистецтвознавець Ф. В. Ковальов, докладно дослідивши картину Миколи Ге «Олександр Сергійович Пушкін у селі Михайлівському», зазначає, що кожна деталь полотна, чи камін, етажерка, крісло чи сам поет, суворо вписані в золоті пропорції.

Дослідники золотого перетину невтомно вивчають і заміряють шедеври архітектури, стверджуючи, що вони стали такими, тому що створені за золотими канонами: у їхньому списку Великі піраміди Гізи, Собор Паризької Богоматері, Храм Василя Блаженного, Парфенон.

І сьогодні в будь-якому мистецтві просторових форм намагаються дотримуватися пропорцій золотого перетину, оскільки вони, на думку мистецтвознавців, полегшують сприйняття твору та формують у глядача естетичне відчуття.

Слово, звук та кінострічка

Форми тимчасового мистецтва по-своєму демонструють принцип золотого поділу. Літературознавці, наприклад, звернули увагу, що найпопулярніша кількість рядків у віршах пізнього періоду творчості Пушкіна відповідає ряду Фібоначчі - 5, 8, 13, 21, 34.

Діє правило золотого перетину й у окремо взятих творах російського класика. Так кульмінаційним моментом «Пікової дами» є драматична сцена Германа та графині, що закінчується смертю останньої. У повісті 853 рядки, а кульмінація посідає 535 рядку (853:535=1,6) – це і є точка золотого перетину.

Радянський музикознавець Еге. К. Розенов відзначає разючу точність співвідношень золотого перетину у строгих і вільних формах творів Йоганна Себастьяна Баха, що відповідає вдумливому, зосередженому, технічно вивіреному стилю майстра. Це справедливо і щодо видатних творів інших композиторів, де на точку золотого перетину зазвичай припадає найяскравіший чи несподіване музичне рішення.

Кінорежисер Сергій Ейзенштейн сценарій свого фільму «Броненосець Потьомкін» свідомо погоджував із правилом золотого перетину, розділивши стрічку на п'ять частин. У перших трьох розділах дія розгортається кораблем, а останніх двох – в Одесі. Перехід на сцени у місті і є золота середина фільму.

Перегляди: 1 557

Яковлєва Олена

Мета роботи – вивчити поняття Золотий переріз, розглянути, як Золотий переріз використовується природою.

У рефераті докладно розглядаються поняття Золотого перерізу, Золотого прямокутника, Золотої спіралі та його застосування у природі. Описуються дослідження, проведені у класі.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальний загальноосвітній заклад

«Середня загальноосвітня школа №48»

МІСЬКА НАУКОВО-ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ

Секція: математика, біологія

«Золотий перетин у природі».

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

8 "Б" клас.

Наукові керівники:Якущенко

Тетяна Олександрівна

Вчитель біології,

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

Баєва Лілія Миколаївна,

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

Учитель математики.

Курган,

2010 р.

Вступ стор.
Поняття золотого перерізу стор.5
Історія Золотого перерізу стор.
Золотий прямокутник стор.7
Золота спіраль
Золоті спіралі у живій природі стор.9
Усюдисущий філлотаксис стор.10
Золотий переріз у природі стор.11
Золоті пропорції у тілі людини стор.12
Мої дослідження стор.13
Висновок стор.13
Додаток стор.
Список литературы стр.15

Вступ. Про живу та неживу природу.

Природа, сприйнята як увесь світ у різноманітті його форм, складається з двох частин: жива і нежива природа. У чому різниця між ними?Для творінь неживої природи характерна висока стійкість, слабка мінливість, якщо судити в масштабах людського життя. Людина народжується, живе, старіє, помирає, а гранітні гори (прил. 1) залишаються такими ж і планети обертаються навколо Сонця так само, як і за часів Піфагора.

Світ живої природи постає перед нами зовсім іншим - рухливим, мінливим і напрочуд різноманітним. Життя демонструє нам фантастичний карнавал різноманітності та неповторності творчих комбінацій! (Додаток 2)Світ неживої природи - це насамперед світ симетрії, що надає його витворам стійкість та красу. Світ живої природи – це насамперед світ гармонії, у якій діє закон Золотого перетину.

Ціль моєї роботи – вивчити поняття Золотий перетин, розглянути, як Золотий переріз використовується природою.

З мети випливаютьзавдання:

Вивчити літературу на цю тему;

Вивчити поняття «Золотий перетин», розглянути як «Золотий перетин» використовується природою;

Джерелами дослідженняз'явилися:

бібліотечні фонди;
інтернет;
бібліотека мого наукового керівника.

Методи дослідження:

вивчення матеріалів на тему;
робота із класом;

Поняття золотого перерізу

Золотий переріз (золота пропорція, поділ у крайньому та середньому відношенні, гармонійний поділ, φ) - поділ відрізка на частини в такому співвідношенні, при якому менша частина відноситься до більшої, як велика до всього в цілому. Наприклад, розподіл відрізка АС на дві частини таким чином, що більша його частина АВ відноситься до меншої ВС так, як весь відрізок АС відноситься до АВ (тобто | АВ | / | ВС | = | АС | / | АВ |) . (дод.3) Цю пропорцію прийнято позначати грецькою літерою, φ і вона дорівнює: 1.618 (дод.4)

Відрізки золотої пропорції виражаються ірраціональним нескінченним дробом 0,618... якщо c прийняти за одиницю, a = 0,382. Числа 0.618 та 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні постаті.

Якщо ви підходите до порожньої лавки і сідаєте на неї, то ви сядете не посередині лави (якось нескромно, хоча зустрічаються і такі яскраво виражені характери) і, звичайно, не на край. Якщо ви непомітно заміряєте довжини, на які своїм тілом розділили лавку, то виявите, що відношення більшого відрізка до меншого дорівнює відношенню всієї довжини до більшого відрізка і приблизно 1,62. Це число, зване Золотим перетином, входить до трійки найвідоміших ірраціональних чисел, тобто таких чисел, десяткові уявлення яких є нескінченними і неперіодичними.

Історія Золотого перетину.

Прийнято вважати, що поняття про Золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.
Платон (додаток 5) (427...347 рр. до н.е.) також знав про золотий поділ. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда (прил.6) У 2-й книзі «Початок» дається геометричне побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (II в. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст.) зробив для перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.
В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі.
Лука Пачолі (прил.7) чудово розумів значення науки мистецтва. У 1496 на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі (прил.8). У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном Золотої пропорції. Серед багатьох переваг Золотої пропорції монах Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираження божественної триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина)

Золотий прямокутник

Золотий переріз дуже широко використовується у геометрії. Ми почнемо нашу подорож геометричними властивостями Золотого перерізу із Золотого прямокутника, які має наступне геометричне визначення. Золотим прямокутником називається такий прямокутник, у якому відношення більшої сторони до меншої рівно золотої пропорції (прил.9) Розглянемо випадок найпростішого Золотого прямокутника, коли AB = і BC = 1.(прил.10)

Золотий прямокутник має багато незвичайних властивостей. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо Золотий прямокутник менших розмірів. Продовжуючи відрізати квадрати, ми будемо отримувати менші і менші Золоті прямокутники. Причому вони будуть розташовані по логарифмічній спіралі (прил.11), що має важливе значенняу математичних моделях природних об'єктів (наприклад, раковинах равликів). Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника BD і першого вертикального, що відрізається AC. Причому діагоналі всіх наступних Золотих прямокутників, що зменшуються, лежать на цих діагоналях (прил.12)

Золотий перетин був відомий давнім грекам. Навряд чи можна сумніватися в тому, що деякі давньогрецькі архітектори та скульптори свідомо використовували його у своїх творах. Прикладом може бути хоча б Парфенон. Саме ця обставина і мав на увазі американський математик Марк Барр, коли запропонував називати відношення двох відрізків, що утворюють золотий перетин, числом. Літера (фі) - перша літера імені великого Фідія.

У той час як Золотий перетин і Золотий прямокутник представляють статичні форми природної та створеної людиною краси та діяльності, уявлення естетично привабливого динамізму, організованого руху зростання та розвитку може бути виконане лише найпрекраснішою формою у Всесвіті – Золотою спіраллю.

Золота спіраль

Золотий прямокутник можна використовувати для побудови золотої спіралі. Будь-який Золотий прямокутник можна розділити на квадрат і менший Золотий прямокутник. Цей процес теоретично можна продовжувати до безкінечності. Ці прямокутники, які ми намалювали і які, як виявилося, скручуються всередину, промарковані A, B, C, D, E, F і G (прил.13) Пунктирні лінії, які самі знаходяться в золотому співвідношенні одна до одної, розтинають прямокутники по діагоналі і точно позначають теоретичний центр, що скручуються квадратів. Приблизно з центральної точки ми можемо накреслити спіраль (прил.14), з'єднуючи точки перетину кожного квадрата, що скручується, в порядку зростання розміру. Так як квадрати скручуються всередину та назовні, їх точки з'єднання виписують Золоту спіраль. Для побудови Золотої спіралі може застосовуватися такий же процес, але з використанням трикутників, що скручуються.

У будь-якій точці розвитку Золотої спіралі, відношення довжини дуги до її діаметра дорівнює 1.618. Діаметр і радіус у свою чергу співвідносяться з діаметром і радіусом, що віддаляються на кут в 90 градусів, з коефіцієнтом 1.618 (прил.15), Золота спіраль, яка є різновидом логарифмічної або вигнанної спіралі, не має меж і є

постійною формою. З будь-якої точки спіралі можна рухатися нескінченно або у напрямку всередину або назовні. Центральна частина логарифмічної спіралі, розглянута через мікроскоп, мала б той самий вигляд, що й найширша видима її частина на видаленні багатьох світлових років.

Золоті спіралі у живій природі

Золоті спіралі широко поширені у біологічному світі. Як зазначалося вище, роги тварин зростають лише з одного кінця. Це зростання здійснюється по логарифмічній спіралі. У книзі «Криві лінії у житті» Т. Кук досліджує різні видиспіралей, що виявляються у рогах (прил.16) баранів, кіз, антилоп та інших рогатих тварин. Серед безлічі спіралей він вибирає Золоту спіраль (криву гармонійного зростання) та розглядає її як символ еволюції та зростання.

Спіралі широко виявляють себе у живій природі. Спірально закручуються вусики рослин (прил.17), по спіралі відбувається зростання тканин у стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні рухи (нутації) спостерігаються при зростанні коренів та пагонів. Очевидно, у цьому проявляється спадковість організації рослин, а її коріння слід шукати на клітинному та молекулярному рівні.

Спіралеподібну форму мають більшість раковин (дод.18-19). Вивчаючи конструкції раковин, вчені звернули увагу доцільність форм і поверхонь раковин: внутрішня поверхня гладка, зовнішня - рифлена. Всередині лежить тіло молюска - внутрішня поверхня має бути гладкою. Зовнішні ребра збільшують жорсткість раковини і таким чином підвищують її міцність. Форма раковин вражає своєю досконалістю та економічністю коштів, витрачених на її створення. Ідея спіралі в раковинах виражена не наближено, а в досконалій геометричній формі, в напрочуд красивій, «відточеній» конструкції.

Російський вчений С.В. Півень, вивчаючи схеми будови опорно-рухового апарату у різних хребетних тварин, дійшов висновку про те, що побудова їх кінцівок відбувалася під впливом двох факторів: законів Золотої пропорції та пристосування організму до способу життя:

"Закони Золотої пропорції визначили основний план, основну ідею конструкції кінцівок, а конкретні умови існування кожної тварини зумовили відхилення - флуктуації від цього плану все різноманіття будови існуючих форм".

Усюдисущий філлотаксис.

Характерною рисою будови рослин та їх розвитку є

спіральність. Ще Гете, який був не лише великим поетом, а й

природовипробувачем, вважав спіральність однією з характерних ознак всіх організмів, проявом найпотаємнішої сутності життя. Спірально закручуються вусики рослин, по спіралі відбувається зростання тканини в стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні рухи (нутації) спостерігаються при зростанні коренів та пагонів. Очевидно, у цьому проявляється спадковість організації рослин, а її коріння слід шукати на клітинному та молекулярному рівнях.

Немає сумнівів, що спадкова спіральність є одним із

Основними властивостями організмів вона відображає одну з істотних ознак живого. На погляд здається, що у кристалах неорганічних речовин спіральність чи гвинтова структура відсутні. Однак більш глибокі дослідження показали, що гвинтове розташування атомів спостерігається і в деяких кристалах і виражається в утворенні про гвинтових дислокацій. Такі кристали складаються з єдиної гвинтоподібної вигнутої атомної площини. При кожному обороті навколо осі ця площина піднімається

на один крок гвинта, що дорівнює міжатомній відстані. Слід додати, що кристали з такою гвинтовою структурою мають надміцність. Від гвинтової структури молекул ДНК до закручування вусиків рослин – такі форми прояви спіральності різних рівнях організації рослин.

Виразно проявляється ця особливість організації рослин у

закономірностях листорозташування.

Існує кілька способів листорозташування. У першому листі

втечі розташовуються строго один під одним, утворюючи вертикальні ряди - ортостіхи. Умовна спіраль, що з'єднує місця розташування листя на втечі, називається генетичною, або основною спіраллю, точніше, гвинтовою лінією і поділяється на ряд листових циклів. Генетичним цей гвинт називається оскільки розташування листя у ньому відповідає порядку появи у ньому листя. Проекція на площину листорозташування дозволяє в частках кола виразити кут розходження листя.

Розглянуту закономірність розташування листя, лусочок, насіння

називають філлотаксісом. Встановлено, що при розташуванні

листя під ідеальним кутом жоден лист не буде розташовуватися точно над іншим, ніж створюються найкращі умовидля фотосинтезу

Золотий перетин у природі.

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - зростання вгору або розстилання по поверхні землі та закручування по спіралі.

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій (прил.20). Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована Золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції Золотого перетину.

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для ока пропорції - довжина її хвоста так належить до довжини решти тіла, як 62 до 38 (прил.21).

Золоті пропорції у тілі людини.

У 1855 р. німецький дослідник Золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". З Цейзінгом сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію Золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва.

Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що Золотий перетин виражає середній статистичний закон. Поділ тіла точкою пупу - найважливіший показникЗолотий переріз. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до Золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виявляється у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції Золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо. (Додаток 22).

Мої дослідження.

Я розглянула кімнатні квіти в школі та вдома і виділила ті, що ростуть за законами Золотого перетину (Додатки 23 – 29) та ті, що ростуть за законами Золотої спіралі (Додатки 30 – 34).

У класі я провела наступне дослідження – запропонувала хлопцям сісти на лаву. Всі дані зведені в таблицю (Додаток 35), проведено розрахунки відносин довжини лави до більшої частини та більшої частини до меншої. Вийшло приблизно 1,6. Це і є Золотий перетин.

Висновок.

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та Золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип Золотого перетину – найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Список літератури

М. Васютинський "Золота пропорція" -М., "Молода гвардія", 1990
А. Азевич "Двадцять уроків гармонії" -М., "Школа-Прес", 1998
М. Гарднер "Математичні головоломки та розваги" -М., "Світ", 1971
Д. Підоу "Геометрія та мистецтво" - М., "Світ", 1989
Енциклопедичний словник юного математика -М., 1989
Журнал "Квант", 1973 № 8
Журнал “Математика у шкільництві”, 1994, № 2, № 3