Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута 90 о. Піфагоровим трикутником називається той, сторони якого дорівнюють натуральним числам; їх довжини у разі мають назву «піфагорова трійка».

Єгипетський трикутник

Щоб нинішнє покоління дізналося геометрію у вигляді, у якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) становлять 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий з фразою «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проте насправді теорема звучить так: c2 (квадрат гіпотенузи) = a2+b2 (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник із сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. д.) називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана у фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили до Єгипту.

При побудові пірамід архітектори та землеміри користувалися співвідношенням 3:4:5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того, щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому разі ймовірність побудови прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

• Гострий кут прямокутного трикутника і велика сторона, які рівні тим самим елементам у другому трикутнику, - безперечна ознака рівності фігур. Зважаючи на суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
• При накладенні двох фігур одна на одну повернемо їх таким чином, щоб вони, суміснившись, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивістю сторони, а точніше, гіпотенузи, рівні, як і кути при підставі, отже, ці постаті однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники справді рівні, головне, щоб дві менші сторони (тобто катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якого полягає в рівності катета та гострого кута.

Властивості трикутника із прямим кутом

Висота, яку опустили із прямого кута, розбиває фігуру на дві рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника та його медіани легко дізнатися за правилом: медіана, що опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині твору катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів 30 про, 45 про 60 про.

• При вугіллі, який дорівнює 30 про, слід пам'ятати, що протилежний катет дорівнюватиме 1/2 найбільшої сторони.
• Якщо кут 45, значить, другий гострий кут також 45 о. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, та його катети однакові.
• Властивість кута 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру 30 о.

Площу легко впізнати за однією з трьох формул:

1. через висоту та бік, на яку вона опускається;
2. за формулою Герона;
3. по боках та кутку між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться із двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати трикутник, що утворився, і тоді по теоремі Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули існує також співвідношення подвоєної площі та довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, тому що потребує менше розрахунків.

Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає використання таких теорем, як:

Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної постаті, а також вміння обчислювати її площу, безсумнівно стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.

Геометрія трикутника

В елементарній геометрії прямокутний трикутник - це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі та один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується рядом важливих властивостей, що є фундаментом тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:

• Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута.
• Катети – відрізки, що утворюють прямий кут. Залежно від кута, що розглядається, катет може бути прилеглим до нього (утворює цей кут з гіпотенузою) або протилежним (що лежить навпроти кута). Для непрямокутних трикутників катетів немає.

Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.

Прямокутний трикутник насправді

Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець - найпростіше уявлення "плоського" прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.

Площа трикутника

Площа геометричної фігури – це кількісна оцінка того, яка частина площини обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Найпростіша формула площі виражається як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:

де a та b – катети.

Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:

• два катети;
• катет та прилеглий кут;
• катет та протилежний кут.

У задачах або побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника декількома способами. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Керамічна плитка

Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площу оброблюваної поверхні. Нехай вам потрібно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:

Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.

Шкільне завдання

Нехай у шкільній задачі з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи лише те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:

Таким чином, калькулятор не тільки обчислює площу заданого трикутника, але й визначає довжину катета і гіпотенузи, що прилягає, а також величину другого кута.

Висновок

Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завдань з геометрії, але і повсякденної та професійної діяльності.

АНДРЕЙ ПРОКИП: «МОЯ КОХАННЯ – РОСІЙСЬКА ЕКОЛОГІЯ. Вкладати потрібно в неї! »
4-5 вересня відбувся екологічний форум «Кліматична форма міст». Ініціатором організації заходу є організація С40, що була заснована у 2005 році ООН. Основним із завдань форму та міст є контроль за кліматичними змінами міст.
Як показала практика, на відміну від світських раутів та «засідань у нічних клубах», депутатів та публічних персоналій було мало. Серед тих, хто дійсно виявив занепокоєння екологічною ситуацією, був Прокіп Адрей Зіновійович. Він взяв активну участь у всіх пленарних засіданнях разом із спеціальним представником Президента Російської Федерації з питань клімату Русланом Едельгерієвим, заступником мера Москви з питань житлово-комунального господарства Петром Бірюковим, а також іноземними представниками – мером італійського міста Савона – Іларіо Капріогліо. Учасники представили свої проекти, а також обговорили стратегії утримання зростання світової температури, а також запропонували практичні рішення сталого розвитку міст.
АНДРЕЙ ПРОКИП ПРО ШАШЛИКИ, ДЕПУТАТІВ І ЗЕЛЕНЕ БУДІВНИЦТВО
Особливий інтерес у Російської сторони викликав виступ спікерів, серед яких були європейські архітектори, вчені та заходи Савона. Темою виступу став ТОПовий напрямок – «зелене будівництво». Як заявив сам Андрія Прокіп, важливо правильно перерозподілити ресурси, а також враховувати стандарти європейського будівництва для такого мегаполісу як Москва. Необхідно, щоб Росія на Федеральному рівні взяла курс на «зелене фінансування», тим більше, що це економічно доцільно і як показує практика – вигідно». Також він висловив побоювання щодо погіршення здоров'я росіян у зв'язку з екологічними катастрофами та недотриманням екологічних норм щодо утилізації відходів великими та малими промисловими підприємствами». Утвердився він у своїх побоюваннях також завдяки виступу Франческо Замбона – професора Європейського бюро ВООЗ з інвестицій у охорону здоров'я.
З властивим гумором Андрій звернувся до відомих персон, які були запрошені на форум, але так і не з'явилися, із закликом згадувати про природу, не тільки коли вони захочуть шашличків або вирушать на рибалку. Адже саме від прихильності природи залежить здоров'я всього народу, до якого, на жаль, входять і вони».
Окрім палких промов про нову «коханку-природу» Андрія Зіновійовича та важливість брати відповідальність за навколишнє середовище на себе, важливою подією форуму стало пленарне засідання на тему «Як виховати нове покоління». Учасники форуму були єдиними на думці, що виховувати потрібно не лише дітей, а й доросле покоління. Дуже важливо виховати відповідальність перед природою у побутовій поведінці, а також у бізнесі.
Для Москви буде запущено спеціальний проект «Вчимося жити цивілізовано». Це освітній проект для всіх верств населення та вікових категорій. Але яка б була прекрасна теорія і добрі наміри, для Росії досі актуальна приказка «поки смажений півень не клюне – дурень не перехреститься».
На думку Тімоті Неттера – відомого театрального режисера – все може змінити мистецтво. В одному з виступів він розповів про те, як потрібно подавати ідею збереження природи в театрі та кіно і як важливо виховати у людях через мистецтво відповідальність за те, що буде завтра з нами та природою.
Увагу операторів рентв та Андрія Прокірпа звернули на себе студенти російських вишів, представивши проект з екологічної технології виробництва тари, стійкої до впливу вологи та температури. Це актуальна проблема, тому що по всьому світу приймають закони проти пластикової тари, яка розкладається більше 30 років, забруднює грунт і викликає загибель тварин.
Надихає той факт, що Москва одне з 94 міст-учасників організації С40 і вже втретє проводиться форум, який щороку привертає увагу все більше відомих персоналій та городян.

Калькулятор онлайн.
Вирішення трикутників.

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) з яких-небудь трьох даних елементів, що визначає трикутник.

Ця математична програма знаходить бік \(c\), кути \(\alpha\) та \(\beta\) по заданим користувачем сторонам \(a, b\) та куту між ними \(\gamma \)

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й відображає процес знаходження рішення.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення чисел, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення чисел

Числа можна задати як цілі, а й дробові.
Ціла і дрібна частина в десяткових дробах може розділятися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так 2.5 або 2,5

Введіть сторони \(a, b \) та кут між ними \(\gamma \) Вирішити трикутник

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У вас у браузері відключено виконання JavaScript.
Щоб з'явилося рішення, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлено у чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводіть у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Небагато теорії.

Теорема синусів

Теорема

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Теорема косінусів

Теорема
Нехай у трикутнику ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тоді
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін, помножений на косинус кута між ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Рішення трикутників

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) з яких-небудь трьох даних елементів, що визначає трикутник.

Розглянемо три завдання вирішення трикутника. При цьому користуватимемося такими позначеннями для сторін трикутника ABC: AB=c, BC=a, CA=b.

Розв'язання трикутника з обох боків та кутку між ними

Дано: (a, b, angle C). Знайти \(c, \angle A, \angle B\)

Рішення
1. По теоремі косінусів знаходимо \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Користуючись теоремою косінусів, маємо:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Розв'язання трикутника по стороні і кутів, що прилягають до неї.

Дано: \(a, \angle B, \angle C\). Знайти \(\angle A, b, c \)

Рішення
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. За допомогою теореми синусів обчислюємо b і c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Рішення трикутника по трьох сторонах

Дано: (a, b, c). Знайти \(\angle A, \angle B, \angle C\)

Рішення
1. По теоремі косінусів отримуємо:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

По \(\cos A \) знаходимо \(\angle A \) за допомогою мікрокалькулятора або за таблицею.

2. Аналогічно знаходимо кут B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Розв'язання трикутника з обох боків та куту навпроти відомої сторони

Дано: (a, b, angle A). Знайти \(c, \angle B, \angle C\)

Рішення
1. По теоремі синусів знаходимо \(\sin B\) отримуємо:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Введемо позначення: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Залежно від числа D можливі випадки:
Якщо D > 1 такого трикутника не існує, т.к. \(\sin B \) більше 1 бути не може
Якщо D = 1, існує єдиний \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Якщо D Якщо D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. За допомогою теореми синусів обчислюємо сторону c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу

У математиці під час розгляду трикутника обов'язково приділяють багато уваги його сторонам. Оскільки ці елементи формують цю геометричну фігуру. Сторони трикутника використовуються для вирішення багатьох задач з геометрії.

Визначення поняття

Відрізки, що з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій, називаються сторонами трикутника. Розглянуті елементи обмежують частину площини, що називають начинкою даної геометричної фігури.

Математики у своїх розрахунках допускають узагальнення щодо сторін геометричних фігур. Так, у виродженому трикутнику три його відрізки лежать на одній прямій.

Характеристики поняття

Розрахунок сторін трикутника передбачає визначення решти всіх параметрів фігури. Знаючи довжину кожного з цих відрізків, можна легко обчислити периметр, площу і навіть кути трикутника.

Рис. 1. Довільний трикутник.

Підсумовувавши сторони цієї фігури можна визначити периметр.

P=a+b+c, де a, b, c – сторони трикутника

А для знаходження площі трикутника слід використовувати формулу Герона.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Де p – напівпериметр.

Кути цієї геометричної фігури обчислюють через теорему косінусів.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Значення

Через співвідношення сторін трикутника виражають деякі властивості цієї геометричної фігури:

• Навпроти найменшої сторони трикутника знаходиться найменший кут.
• Зовнішній кут геометричної фігури, що розглядається, отримують, продовжуючи одну зі сторін.
• Напроти рівних кутів трикутника лежать рівні сторони.
• У будь-якому трикутнику одна зі сторін завжди більша за різницю двох інших відрізків. А сума будь-яких двох сторін цієї фігури більша за третю.

Однією з ознак рівності двох трикутників є співвідношення суми всіх сторін геометричної фігури. Якщо ці значення однакові, то трикутники будуть рівними.

Деякі властивості трикутника залежать від його типу. Тому спочатку слід враховувати величину сторін чи кутів цієї фігури.

Формування трикутників

Якщо дві сторони геометричної фігури, що розглядається, будуть однаковими, то цей трикутник називають рівнобедреним.

Рис. 2. Рівнобедрений трикутник.

Коли всі відрізки в трикутнику будуть рівними, то вийде рівносторонній трикутник.

Рис. 3. Рівносторонній трикутник.

Будь-яке обчислення зручніше проводити у випадках, коли довільний трикутник можна зарахувати до певного типу. Бо тоді знаходження необхідного параметра цієї геометричної фігури значно спроститься.

Хоча правильно підібране тригонометричне рівняння дозволяє вирішити багато завдань, у яких розглядається довільний трикутник.

Що ми дізналися?

Три відрізки, які з'єднані між собою крапками і не належать до однієї прямої, формують трикутник. Ці сторони утворюють геометричну площину, що використовується щодо площі. За допомогою цих відрізків можна знайти багато таких важливих характеристик фігури, як периметр та кути. Співвідношення сторін у трикутнику допомагає знайти його тип. Деякі властивості цієї геометричної фігури можна скористатися тільки, якщо відомі розміри кожної з її сторін.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.3. Усього отримано оцінок: 142.