піраміда. Формули та властивості піраміди. Як обчислити площу піраміди: основи, бічну та повну? Чому дорівнює периметр основи піраміди
Піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник, а бічні сторони утворюються правильними трикутниками, називається шестикутної.
Цей багатогранник відрізняється безліччю властивостей:
- Усі сторони та кути основи рівні між собою;
- Всі ребра та двогранні вугілля піраміди також рівні між собою;
- Трикутники, що утворюють бічні сторони однакові, відповідно, мають однакові площі, сторони і висоти.
Для розрахунку площі правильної шестикутної піраміди застосовується стандартна формула площі бічної поверхні шестикутної піраміди:
де P – периметр основи, a – довжина апофеми піраміди. У більшості випадків можна розрахувати бічну площу за цією формулою, проте іноді можна скористатися й іншим методом. Так як бічні грані піраміди утворені рівними трикутниками, можна знайти площу одного трикутника, а потім помножити його на кількість бічних сторін. У шестикутній піраміді їх 6. Але цей спосіб можна застосовувати і при розрахунку. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні шестикутної піраміди.
Нехай дано правильну шестикутну піраміду, в якій апофема дорівнює a = 7 см, сторона основи b = 3 см. Розрахуйте площу бічної поверхні багатогранника.
Для початку знайдемо периметр основи. Оскільки піраміда правильна – у її основі лежить правильний шестикутник. Отже, всі його сторони рівні, а периметр розраховується за такою формулою:
Підставляємо дані у формулу:
Тепер можемо легко знайти площу бічної поверхні, підставивши знайдене значення в основну формулу: 
Також важливим моментом є пошук площі основи. Формула площі основи шестикутної піраміди виводиться із властивостей правильного шестикутника: 
Розглянемо приклад розрахунку площі основи шестикутної піраміди, взявши за основу умови з минулого прикладу. З них ми знаємо, що сторона основи b = 3 см. Підставимо дані до формули: 
Формула площі шестикутної піраміди являє собою суму площі основи та бічної розгортки: 
Розглянемо приклад розрахунку площі шестикутної піраміди.
Нехай дана піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник зі стороною b = 4 см. Апофема заданого багатогранника дорівнює a = 6 см. Знайдіть повну площу.
Ми знаємо, що повна площа складається з площ основи та бічної розгортки. Тому спершу знайдемо їх. Розрахуємо периметр:
Тепер знайдемо площу бічної поверхні: 
Далі розраховуємо площу основи, в якій лежить правильний шестикутник: 
Тепер можемо скласти результати:
Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, основу якого лежить правильний трикутник.
У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:
де p – периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a – апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжини всіх необхідних елементів, то знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику всі сторони рівні, а отже, периметр розраховується за формулою:
Підставимо дані та знайдемо значення:
Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні: 
Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула: 
Формула площі основи трикутної піраміди може бути інший. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.
Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується на підставі піраміди. Підставимо дані у формулу: 
Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи. 
Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:
Підставляємо дані у формулу: 
Тепер знайдемо площу основи: 
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди: 
При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.
Визначення. Бічна грань- це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, у якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається у центр основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, то навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається із центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.
2. Усі бічні ребра рівні.
3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.
4. Апофеми всіх бічних граней рівні.
5. Площі всіх бічних граней рівні.
6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром та основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки, один кут дорівнює π/n, де n - це кількість кутів на підставі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли на підставі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).
Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.
Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний тригранний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої грані дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.
Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.
Під час підготовки до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри та геометрії. Хочеться поєднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому від основи і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація ясна, оскільки вони є трикутниками, то основа завжди різна.
Як бути при знаходженні площі основи піраміди?
Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І ця підстава, крім відмінності у кількості кутів, може бути правильною фігурою чи неправильною. У школярів, що цікавлять завданнями з ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в підставі. Тому йтиметься лише про них.
Правильний трикутник
Тобто рівнобічний. Той, у якого всі сторони рівні та позначені буквою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:
S = (а 2*√3)/4.
Квадрат
Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову бік:
Довільний правильний n-кутник
У сторони багатокутника те саме позначення. Кількість кутів використовується латинська буква n.
S = (n * а 2) / (4 * tg (180 º / n)).
Як вчинити при обчисленні площі бічної та повної поверхні?
Оскільки в основі лежить правильна фігура, всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна їх є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площу піраміди, знадобиться формула, що складається із суми однакових одночленів. Число доданків визначається кількістю сторін основи.
Площа рівнобедреного трикутника обчислюється за формулою, у якій половина добутку основи множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемою. Її позначення – «А». Загальна формула для площі бічної поверхні виглядає так:
S = ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.
Бувають ситуації, коли не відомі сторони основи, але дані бічні ребра (в) та плоский кут при її вершині (α). Тоді потрібно використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площу піраміди:
S = n/2 * 2 sin α .
Завдання №1
Умова.Знайти загальну площу піраміди, якщо на його підставі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення √3 см.
Рішення.Його починати треба з розрахунку периметра основи. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3*4 = 12 см. Оскільки апофема відома, можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .
Для трикутника на підставі вийде таке значення площі: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .
Для визначення всієї площі потрібно скласти два значення: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .
Відповідь. 10√3 см 2 .
Завдання №2
Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони основи дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площу її поверхні.
Рішення.Оскільки багатогранник - чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі основи та бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі усі сторони трикутника. Тому можна використати формулу Герона для обчислення їх площ.
Перші розрахунки прості і призводять до такої кількості: 49 мм 2 . Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких трикутників всього чотири, тому за підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.
Виходить: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм2.
Відповідь. Шукане значення 267,576 мм2.
Завдання №3
Умова. У правильній чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата – 6 см і висота – 4 см.
Рішення.Найпростіше скористатися формулою з добутком периметра та апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.
Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди та апофемою, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає у його середину.
Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √ (32 + 42) = 5 (см).
Тепер можна обчислювати потрібну величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Відповідь. 96 см 2 .
Завдання № 4
Умова.Дана правильна Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра — 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?
Рішення.Міркування в ній такі самі, як були описані в задачі №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом у основі, а тепер це шестикутник.
Насамперед обчислюється площа підстави за зазначеною вище формулою: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .
Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22+61*2):2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площу кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла на підставу.
Розрахунки за формулою Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Обчислення, що дадуть площу бічної поверхні: 660*6 = 3960 см 2 . Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47-5217 см 2 .
Відповідь.Підстави - 726√3 см 2 , бічної поверхні - 3960 см 2 , вся площа - 5217 см 2 .
