Графічний диференціювання. Графічне та чисельне диференціювання Знайти похідну в екселе
Крім форматування елементів поля осередків, рядків та стовпців часто буває корисно використовувати кілька робочих аркушів Excel. Для систематизації та пошуку інформації в книзі зручно надавати назв аркушів власні імена, що відображають їх змістовий зміст. Наприклад, «вихідні дані», «результати розрахунків», «графіки» тощо. Це зручно зробити, скориставшись контекстному меню. Натиснути праву кнопку мишки на ярличку аркуша, Перейменувати аркуш і натиснути
Щоб додати один або кілька нових аркушів у меню Вставка, виберіть команду Лист. Щоб вставити відразу кілька аркушів, потрібно виділити ярлички необхідної кількості аркушів, утримуючи
Корисна операція з переміщення аркушів – лівою кнопкою миші захопити ярлик листа і перемістити його в потрібне місце. Якщо при цьому натиснути
Завдання 7 . Змініть формат усієї комірки В2 на: шрифт – Arial 11; розташування – у центрі, по нижньому краю; одне слово у рядку; формат числа - "0,00"; межа осередку – подвійна лінія
2.3. Вбудовані функції
Програма Excel містить понад 150 вбудованих функцій для спрощення розрахунків та обробки даних. Приклад вмісту осередку з функцією: =В2+SIN(C7) , де В2 та С7 - адреси осередків, що містять числа, а SIN() – ім'я функції. Найбільш використовуються функції Excel:
SQRT(25) = 5 – обчислює квадратний корінь з числа (25) РАДІАНИ(30) = 0,5 - перетворює 30 градусів на радіани ЦІЛОЕ(8,7) = 8 – округлює до найближчого меншого цілого ЗАСТАТ(-3;2) = 1 – залишає залишок від розподілу числа(-3) на
дільник(2). Результат має знак дільника. ЯКЩО(E4>0,2;"доп";"помил")– якщо число в осередку Е4 менше 0,2,
тоді Excel повертають "доп" (істина), інакше - "помилка" (брехня).
У формулі функції можуть бути вкладеними одна в одну, але не більше 8 разів.
З використанням функції головним є визначення самої функції та її аргумента. Як аргумент, як правило, вказується адреса комірки, в якій записано інформацію.
Визначити функцію можна, набравши текст (значки, числа тощо) у потрібний осередок, або скористатися Майстром функцій. Тут для зручності пошуку всі функції розбиті на категорії: математичні, статистичні, логічні та інші. У кожній категорії вони відсортовані в алфавітному порядку.
Майстер функцій викликається командою менюВставка, функція
або натисканням піктограми (f x). У першому вікні Майстра функцій (мал.4) визначаємо Категорії та назву конкретної функції, натискаємо
Рис. 4. Вигляд вікна Майстер функцій
Рис. 5. Вікно для завдання аргументів обраної функції
Завдання 8. Знайти середнє значення низки чисел: 2,5; 2,9; 1,8; 3,4; 6,1;
1,0; 4,4.
Рішення . Вводимо числа в комірки, наприклад, С2: С8. Виділяємо комірку С9, в яку записуємо функцію =СРЗНАЧ(С2:С8), натискаємо
Завдання 9. Застосовуючи умовну логічну функцію ЯКЩО, скласти формулу перейменування непарних числа на «осінь», парних - «весна».
Рішення . Вибираємо стовпець для введення вихідних даних – парних (непарних) чисел, наприклад, A . В осередок B3 запишемо формулу =ЯКЩО(ОСТАТ(A3;2)=0;"вага";"осі"). Копуючи осередок B3 вздовж стовпця, отримуємо результати аналізу записаних в стовпці А чисел. Результати розв'язання задачі представлені на рис. 6.
Рис. 6. Розв'язання задачі № 9
Завдання 10. Обчислити значення функції y = x3 + sinx - 4ex для x = 1,58.
Рішення . Розмістимо дані в осередки А2 - х, В2 -у. Розв'язання задачі показано на рис.7 у числовому вигляді зліва та формульному – справа. При розв'язанні цієї задачі слід звернути увагу на виклик функцій SIN та експоненти для введення аргументу (див. мал.8).
Рис.7. Розв'язання задачі № 10
Рис.8. Вікна для введення аргументу функції SIN та EXP
Завдання 11 . Складіть в Excel математичну модель задачі для розрахунку функції y = 1/((x-3) · (x+ 4)), при значеннях x = 3 та у = -4 виводити на екран "невизначена", чисельні значення функції - в інших випадках .
Завдання 12 . Складіть у Excel математичну модель задачі: 12.1. для обчислення з корінням
а) √ x3 · y2 · z / √ x · z; b) (z · √ z)2; c) 3 √ x2 · 3 √ x ; d) √ 5·x5 ·3-1 / √ 20·x·3-1
12.2. для геометричних обчислень а) визначити кути прямокутного трикутника, якщо відомі х – катет, у – гіпотенуза;
b) визначити відстань між двома точками в декартовій системі координат XYZ за формулою
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
с) визначити відстань від точки (x 0 , y 0 ) до прямої a x + b y + c = 0 за формулою
d = a x0 + b y0 + c / √ (a2 + b2)
d) визначити площу трикутника за координатами вершин за формулою
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Розв'язання задач із застосуванням формул та функцій
Завдань, які можна успішно вирішувати з використанням формул та функцій Excel, насправді багато. Розглянемо завдання, які у практиці найчастіше вирішуються із застосуванням електронних таблиць: лінійні рівняння та його системи, обчислення чисельних значень похідних і певних інтегралів.
Похідної функції y = f(x) називається відношення її прирощення ∆y до відповідного прирощення ∆x аргументу, коли
∆x→ 0
y = f(x + x) − f(x)
Завдання .13. Знайти похідну функції y = 2x3 + x2 у точці x=3.
Рішення. Похідна, обчислена аналітичним методом, дорівнює 60 . Обчислення похідної Excel проведемо за формулою (1). Для цього виконаємо послідовність дій:
· Проведемо позначення стовпців: Х - аргументи функції, У - значення функції, У - похідна функції (рис.9).
· Табулюємо функцію на околиці точких= 3 з малим кроком, наприклад, 0,001 результати заносимо в стовпець Х .
Рис. 9. Таблиця обчислення похідної функції
· У комірку В2 введемо формулу обчислення функції = 2 * A2 ^ 3 + A2 ^ 2 .
· Скопіюємо формулу до рядка 7 отримаємо значення функції в точках табуляції аргументу.
· В комірку С2 введемо формулу обчислення похідної = (B3-B2) / (A3-A2).
· Скопіюємо формулу до рядка 6 отримаємо значення похідних у точках табуляції аргументу.
Для значення х= 3 похідна функції дорівнює значенню 60,019, що близько значення, обчисленому аналітично.
метод трапецій. У способі трапецій область інтегрування розбивається на відрізки з деяким кроком і площа під графіком функції на кожному відрізку вважається рівною площі трапеції. Тоді розрахункова формула набуває такого вигляду
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 i = 0 |
|
де h = (b-a) / N - крок розбиття; N – кількість точок розбиття.
Для підвищення точності кількість точок розбиття подвоюється, повторно виконується розрахунок інтегралу. Дроблення вихідного інтервалу припиняють, коли досягнуто необхідної точності:
інтеграла виконаємо такі дії:
- Виберемо N = 5, в осередку F2 розрахуємо h- крок розбиття (рис. 10);
Рис. 10. Обчислення певного інтегралу
· У першому стовпціА записуємо номер інтервалу i;
· У осередку B2 запишемо формулу =3 * (2 + F2 * A2) ^ 2 для розрахунку першого доданку формули (2);
· У осередку С2 запишемо формулу =3 * (2 + F2 * (A2 + 1)) ^ 2 для розрахунку другого доданку;
· "Протягнемо" осередки з формулами на 4 рядки вниз стовпчиками;
· В осередок С7 запишемо формулу і обчислимо суму доданків,
· У осередку С8 запишемо формулу і обчислимо SN шукане значення певного інтеграла 19,02 (значення S N отримане аналітично
19).
Завдання. 15. Обчислити певний інтеграл:
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2 π |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Y = ∫ |
Y = ∫ |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Y = ∫ |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Розв'язання лінійних рівнянь
Лінійні рівнянняв Excel можна вирішити, використовуючи функцію Вибір параметра.При доборі параметра значення комірки, що впливає (параметра) змінюється до тих пір, поки формула, що залежить від цієї комірки, не поверне задане значення.
Розглянемо процедуру пошуку параметра на простому прикладі розв'язання лінійного рівняння з одним невідомим.
Завдання 16 . Розв'язати рівняння 10 · x-10/x = 15 .
Рішення. Для шуканого значення параметра – x виберемо комірку A3. Введемо в цей осередок будь-яке число, що лежить в області визначення функції (у нашому прикладі це число не може бути нульовим). Нехай це буде 3 . Це значення буде використано як початкове. У комірку, наприклад, B3 відповідно до наведеного рівняння введемо формулу =10*A3-10/A3 . В результаті серії розрахунків за цією формулою буде відібрано значення параметра. Тепер у меню Сервіс, обравши команду Вибір параметра,запустимо функцію пошуку параметра (рис.11 а) . Введемо параметри пошуку:
· У полі Встановити в осередкувведемо абсолютне посилання на комірку $ $ 3, що містить формулу.
· У полі Значення введемо результат 15 .
· У полі Змінюючи значення осередкувведемо посилання на комірку А3 , що містить значення, що підбирається, і натиснемо
Після закінчення роботи функції Вибір параметрана екрані з'явиться вікно Результат підбору параметра, в якому відображаються результати пошуку. Знайдений параметр 2,000025 з'явиться в осередку А3, який був для нього зарезервований.
Зверніть увагу на той факт, що в прикладі рівняння має два рішення, а параметр підібраний тільки один. Це відбувається тому, що параметр змінюється лише до тих пір, поки потрібне значення не буде повернено. Перший знайдений таким чином аргумент і повертається до нас як результат пошуку. Якщо як
початкового значення у прикладі вказати -3 , тоді буде знайдено друге рішення рівняння: -0,5 .
Рис.11. Рішення рівняння: а - введення даних, б - результат розв'язання
Завдання 17. Розв'язати рівняння |
||||
5х/9-8 = 747x/12 |
(2x + 2) / 0.5 = 6x |
|||
0,5 (2x-1)+x/3=1/6 |
7 (4x-6) + 3 (7-8x) = 1 |
|||
Систему лінійних |
рівнянь |
можна вирішувати різними |
||
способами: підстановки, складання та віднімання рівнянь, з використанням матриць. Розглянемо спосіб розв'язання канонічної системи лінійних рівнянь (3) з використанням матриць.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
Відомо, що система лінійних рівнянь у матричному поданні записується у вигляді:
де А - матриця коефіцієнтів, X - вектор - стовпець невідомих,
В – вектор-стовпець вільних членів. Вирішення такої системи
записується у вигляді
X = A-1 B,
де A -1 -матриця, зворотна до А . Це випливає з того, що при розв'язанні матричних рівнянь за X повинна залишитися одинична матриця Е . Помножуючи зліва обидві частини рівняння АХ = на А -1 , отримуємо рішення лінійної системи рівнянь.
Завдання 18. Розв'язати систему лінійних рівнянь
Рішення. Для даної системи лінійних рівнянь значення відповідних матриці та вектора-стовпця мають вигляд:
Для вирішення задачі виконаємо дії:
· А2: В3 і запишемо в нього елементи матриці А.
· Виділимо блок осередків, наприклад,С2:С3 і запишемо в нього елементи матриці.
· Виділимо блок осередків, наприклад, D2:D3 для розміщення результату розв'язання системи рівнянь.
· В комірку D2 введемо формулу = МУМНОЖ (МОБР (А2: В3); С2: С3).
Бібліотека Excel у розділі математичних функцій містить функції виконання операцій над матрицями. Зокрема, це функції:
Параметрами даних функцій можуть бути адресні посилання на масиви, що містять значення матриць або імена діапазонів та виразів.
Наприклад, МОБР (А1: B2) або МОПР (матриця_1).
· Вкажемо Excel, що виконується операція над масивами, для цього натисніть комбінацію клавіш
4. Розв'язання задач оптимізації
Багато проблем прогнозування, проектування та виробництва зводяться до широкого класу задач оптимізації. Такими завданнями є, наприклад: максимізація випуску товарів при обмеження на сировину для цих товарів; складання штатного розкладу для досягнення найкращих результатів за найменших витрат; мінімізація витрат на транспортування товарів; досягнення заданої якості металу; визначення розмірів певної ємності з урахуванням вартості матеріалу задля досягнення максимального обсягу; різні
завдання, до яких входять випадкові величини, та інші завдання оптимального розподілу ресурсів та оптимального проектування.
Розв'язання задач такого виду може бути здійснене EXCEL за допомогою інструмента Пошук рішення, розташованого в меню Сервіс . Формулювання таких завдань може бути системою рівнянь з декількома невідомими і набір обмежень на рішення. Тому розв'язання задачі треба починати з побудови відповідної моделі. Познайомимося із цими командами на прикладі.
Завдання 20. Припустимо, що ми вирішили виробляти два види об'єктивів А та В. Об'єктив виду А складається з 3-х лінзових компонентів, вид – з 4-х. За тиждень можна виготовити трохи більше 1800 лінз. На складання об'єктива виду А потрібно – 15 хвилин, виду – 30 хвилин. Робочий тиждень для 4 працівників складає 160 годин. Скільки об'єктивів А та В треба виготовити, щоб отримати максимальний прибуток, якщо об'єктив виду А коштує 3500 рублів, виду – 4800 рублів.
Рішення. Для вирішення цього завдання необхідно скласти та заповнити таблицю відповідно до рис. 12:
· Перейменуємо осередокВ2 x , кількість об'єктивів виду А.
· А податково перейменуємо осередок В3 в y.
· Цільову функцію Прибуток = 3500*x+4800*yвведемо в комірку B5. · Витрати на комплектацію рівні =3 * x + 4 * y введемо в комірку B7.
· Витрати за часом рівні = 0,25 * x + 0,5 * y введемо в комірку B8.
Найменування |
|||
комплектацію |
|||
Витрати за часом |
|||
Рис.12. Заповнення таблиці вихідними даними
· Виділимо комірку В5 та виберемо меню Дані, після чого активізуємо команду Пошук рішення. Заповнимо осередки цього вікна відповідно до рис.13.
· Натиснемо<Выполнить >; якщо все зроблено правильно, то рішення буде таким, як зазначено нижче.
Приклад 3: Відібрати за допомогою автофільтра студентів, які навчаються в групі № 5433 з прізвищем, що починається на літеру С .
Послідовність дій
1. Скопіювати базу даних (рис. 30) на Аркуш 3.
2. Прізвище.
3. Вибрати зі списку пунктТекстові фільтри → Настроюваний фільтр. У вікні, що з'явилося Користувальницький автофільтрВибрати критерій відбору починається з , в полі навпаки ввести потрібну літеру (перевірити, щоб розкладка була російськомовною). Натиснути ОК.
4. Відкрити список, що розкривається, в стовпці№ групи.
5. Вибрати номер.
Фільтрування записів у базі даних за допомогою розширеного фільтра
Розширений фільтрдозволяє відшукувати рядки за допомогою складніших критеріїв, в порівнянні з користувальницькими автофільтрами. Розширений фільтр використовує для фільтрації даних інтервал критеріїв.
При використанні розширеного фільтра імена стовпців, за якими задаються умови, копіюються нижче за вихідну таблицю. Під назвами стовпців вносяться критерії відбору. Після застосування фільтра на екрані можуть відображатися ті рядки, які задовольняють зазначеному критерію, а також відфільтровані дані можуть копіюватися на інший аркуш або в іншу область на тому ж робочому аркуші.
Приклад 4: Вибрати всіх студентів із групи № 5433, у яких середній бал більший або дорівнює 4,5.
Послідовність дій
1. Скопіювати базу даних (рис. 30) на Аркуш 4.
2. Копіювати назви стовпців№ групи та середній бал
в область нижче за вихідну таблицю. Під назвами стовпців запровадити потрібні критерії відбору (рис. 32)
Рис. 32. Вікно Excel із розширеним фільтром
2. На вкладці Дані на панелі інструментів Сортування
та фільтр вибрати пункт Додатково. З'явиться діалогове вікно (мал. 33), де вказуються діапазони даних.
Рис. 33. Вікно розширеного фільтра
У полі введення Вихідний діапазонвказується інтервал, що містить вихідну базу даних. У разі виділяється діапазон осередків з А1 по I9 .
У полі введення Діапазон умоввиділяється інтервал осередків на робочому аркуші, який містить необхідні критерії (С12: D13).
У полі введення Помістити результат у діапазон вказується інтервал, в який копіюються рядки, що задовольняють кри-
теріям. У разі вказується осередок нижче області критеріїв, наприклад А16 . Це поле доступне лише в тому випадку, коли вибрано перемикач Копіювати результат в інше місце.
Прапорець Тільки унікальні записипризначений для відображення рядків, що тільки не повторюються.
Результуюча таблиця, яка відповідає критеріям фільтрації, представлена на рис. 34.
Рис. 34. Вікно Excel із результатами фільтрації
1. Створити свою базу даних, кількість записів у якій має бути не менше 15, а кількість стовпців – не менше 6. Наприклад, база данихСписок клієнтів (рис. 35).
2. До бази даних застосувати три автофільтри (на окремих аркушах). Кількість критеріїв має бути не меншою за два.
3. Застосувати три розширені фільтри до записів бази даних, кожен з яких повинен містити не менше двох критеріїв. Усі розширені фільтри розмістити на одному аркуші під вихідною таблицею.
Рис. 35. Вікно Excel з базою даних Список клієнтів
Лабораторна робота № 5
Чисельне диференціювання та найпростіший аналіз функцій
Мета роботи: Дослідити функцію на екстремум, навчитися визначати критичну точку.
З курсу математики відомо, що формула похідної у вигляді виглядає так:
f "(x) = lim |
||
Δx 0 |
||
де Δx - збільшення аргументу; x – число, що прагне нуля. За допомогою похідної можна визначити критичні точки функції – мінімуми, максимуми чи перегини. Якщо значення похідної функції за будь-якого значення x дорівнює нулю, то при цьому значенні x функція має критичну точку.
Приклад 1: Функція f x = x 2 + 2x3 задана на інтервалі x5; 5 . Дослідити поведінку функції f(x).
Послідовність дій
1. Нехай Δx = 0,00001. У комірку A1 запровадити: šDx=Ÿ (рис. 36). Виділити літеру D, клацнути правою кнопкою миші на виділеній літері, вибрати Формат осередків. На вкладці Шрифт виберіть шрифт Symbol. Літера D перетвориться на грецьку літеру Ґв. Вирівнювання в осередку можна зробити праворуч. У комірку B1 внести значення 0,00001.
2. У осередках з А2 по F2 оформити шапку таблиці, як показано на рис. 36.
3. У стовпці A починаючи з третього рядка будуть міститися значення x . У комірки з A3 до A13 ввести значення від –5 до 5.
4. У осередку B3 записати формулу =A3^2+2*A3-3 і розтягнути її до кінцевого значення x (до 13-го рядка).
5. Щоб визначити похідну функції та обчислити її значення на заданому інтервалі, необхідно зробити проміж-
точні обчислення. У комірку С3 ввести формулу суми аргументу x та його збільшення Δx . Формула має вигляд: =A3+$B$1. Розтягнути її значення кінцевого значення аргументу x .
Рис. 36. Вікно Excel з вивчення поведінки функції
6. У комірку D3 записати формулу =C3^2+2*C3-3 , за якою обчислюється значення функції f від аргументу x Δx. Розтягнути значення до кінцевого значення аргументу.
7. У комірку E3 записати формулу похідної (1), враховуючи, що значення f x знаходяться у B3 , а значення f x + Δx у D3 .
Формула матиме вигляд: =(D3-B3)/$B$1.
8. Визначити поведінку функції на заданому проміжку (зростає, зменшується чи є критична точка). Для цього необхідно в клітинку F3 самостійно записати формулу для визначення поведінки функції. Формула містить три умови:
f" (x)< 0 |
– функція зменшується; |
||
f" (x) > 0 |
- Функція зростає; |
||
f" (x) = 0 |
– є критична точка*. |
9. Побудувати графіки за значеннями f x і f" (x). На графіку (рис. 37) видно, що якщо значення похідної функції дорівнює нулю, то тут у функції критична точка.
* Через занадто великий похибки обчислень, значення f"(x) може бути рівним 0. Але описати цю ситуацію все одно необхідно.
Рис. 37. Діаграма дослідження поведінки функції
Завдання для самостійної роботи
Функція f(x) задана на інтервалі x. Дослідити поведінку функції f(x). Побудувати графіки.
2x 2 |
X [4; 4] |
||||||||
X [5; 5] |
|||||||||
2x + 2 |
|||||||||
f(x)= x3 |
3x 2 |
2, x [2; 4] |
|||||||
f(x)= x |
X [2; 3] |
||||||||
x 2 + 7 |
|||||||||
Лабораторна робота № 6
Побудова дотичної графіка функції
Мета роботи : Освоїти обчислення значень рівняння щодо графіку функції у точці x 0 .
Рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці
Приклад 1: Функція y = x 2 + 2x3 задана на інтервалі x [5; 5]. Побудувати дотичну графіку цієї функції у точці x 0 = 1.
Послідовність дій:
1. Продиференціювати чисельно цю функцію (див. Лабораторну роботу №5). Таблиця вихідних даних показано на рис. 38.
Рис. 38. Таблиця вихідних даних
2. Визначити в таблиці розташування x , x 0 , f(x 0 ) і f" (x 0 ) . Очевидно, що як x будуть виступати значення з
стовпця A , починаючи з третього рядка (рис. 38). Якщо x 0 = 1, то як x 0 виступатиме осередок A9 . Відповідно, значення функції f у точці x 0 знаходиться в осередку B9 а значення f" (x 0 )
- В осередку E9.
3. У стовпці F розраховується рівняння щодо графіка функції f(x). При розрахунку рівняння (1) необхідно, щоб значення x 0 , f(x 0 ) і f" (x 0 ) не змінювалися.
Санії адреси осередків A9, B9 і E9 потрібно використовувати абсолютні посилання на ці осередки. Фіксація осередків провадиться за допомогою знака š$Ÿ. Осередки матимуть вигляд: $A$9 , $B$9 і $E$9 .
Рис. 39. Графік функції f(x) та дотична до графіка у точці x=1
Завдання для самостійної роботи
Функцію f(x) визначено на інтервалі x . Розрахувати рівняння дотичної. Побудувати дотичну до графіку функції у заданій точці.
2x 2 |
X [4; 4], x0 = 1 |
|||||||||
X [5; 5], x0 |
||||||||||
2x + 2 |
||||||||||
f(x)= x3 |
3x 2 |
2, x [2; 4], x0 = 0 |
||||||||
f(x)= x |
X [2; 3], x0 |
|||||||||
x 2 + 7 |
||||||||||
1. Вєдєнєєва, Є. А. Функції та формули Excel 2007. Бібліотека користувача / Є. А. Вєдєнєєва. - СПб.: Пітер, 2008. - 384 с.
2. Свиридова, М. Ю. Електронні таблиці Excel/М. Ю. Свиридова. - М.: Academia, 2008. - 144 с.
3. Серогодський, В. В. Графіки, обчислення та аналіз даних
в Excel 2007 / В. В. Сірогодський, Р. Г. Прокді, Д. А. Козлов, А. Ю. Дружинін. - М.: Наука та техніка, 2009. - 336 с.
Для вирішення багатьох інженерних завдань часто потрібне обчислення похідних. Коли є формула, що описує процес, складнощів ніяких немає: беремо формулу та обчислюємо похідну, як вчили ще у школі, знаходимо значення похідної у різних точках, і все. Складність, мабуть, тільки в цьому полягає, щоб згадати, як обчислювати похідні. А як бути, якщо у нас є лише кілька сотень чи тисяч рядків із даними, а жодної формули немає? Найчастіше саме так практично і буває. Пропоную два способи.
Перший полягає в тому, що ми наш набір точок апроксимуємо стандартною функцією Excel, тобто підбираємо функцію, яка найкраще лягає на наші точки (в Excel це лінійна функція, логарифмічна, експоненційна, поліноміальна та статечна). Другий спосіб - чисельне диференціювання, для якого нам потрібно буде лише вміння запроваджувати формули.
Згадаймо, що таке похідна взагалі:
Похідної функції f (x) у точці x називається межа відношення збільшення Δf функції у точці x до прирощення Δx аргументу, коли останнє прагне до нуля:
Ось і скористаємося цим знанням: будемо просто брати до розрахунку похідної дуже малі значення збільшення аргументу, тобто. Δx.
Для того щоб знайти наближене значення похідної в потрібних нам точках (а у нас точки – це різні значення ступеня деформації ε) можна надійти ось як. Подивимося ще раз на визначення похідної і бачимо, що при використанні малих значень збільшення аргументу Δε (тобто малих прирощень ступеня деформації, що реєструються при випробуваннях) можна замінити значення реальної похідної в точці x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) на відношення Δy/Δx=(f(x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx.
Тобто ось що виходить:
f′(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)
Для обчислення цієї похідної в кожній точці ми робимо обчислення з використанням двох сусідніх точок: перша з координатою 0 по горизонтальній осі, а друга з координатою x 0 + Δx, тобто. одна – похідну в якій обчислюємо і та, що поправніше. Обчислена таким чином похідна називається різницевою похідною вправо (вперед) з крокомΔ x.
Можемо поступити навпаки, взявши вже інші дві сусідні точки: x 0 — Δx і x 0 , тобто цікаву для нас і ту, що ліворуч. Отримуємо формулу для обчислення різницевої похідної вліво (назад) з крокомΔ x.
f'(x 0) ≈(f (x 0) – f (x 0 - Δx))/Δx (2)
Попередні формули були «ліві» та «праві», а є ще одна формула, яка дозволяє обчислювати центральну різницеву похіднуз кроком 2 Δx, та яка найчастіше використовується для чисельного диференціювання:
f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0 - Δx))/2Δx (3)
Для перевірки формули розглянемо простий приклад із відомою функцією y=x3. Побудуємо таблицю в Excel із двома зі стовпцями: x і y, а потім побудуємо графік за наявними точками.
Похідна функції y=x 3 це y=3x 2 графік якої, тобто. параболу, ми повинні отримати з використанням наших формул.
Спробуємо обчислити значення центральної похідної різниці в точках х. Для цього. У осередку другого рядка нашої таблиці забиваємо формулу (3), тобто. наступну формулу в Excel:
Тепер будуємо графік з використанням уже наявних значень х і отриманих значень центральної похідної різної:
А ось і наша червоненька парабола! Виходить, формула працює!
Ну а тепер можемо перейти до конкретної інженерної задачі, про яку говорили на початку статті – знаходження зміни dσ/dε зі збільшенням деформації. Перша похідна кривою «напруга-деформація» σ=f (ε) у зарубіжній літературі називається «швидкість зміцнення» (strain hardening rate), а нашій – «коефіцієнт зміцнення». Отже, в результаті випробувань ми маємо масив даних, якою складається з двох стовпців: один - зі значеннями деформацій ε та інший - зі значеннями напруги в МПа. Візьмемо холодну деформацію сталі 1035 або 40Г (див. таблицю аналогів сталей) при 20°С.
| C | Mn | P | S | Si | N |
| 0.36 | 0.69 | 0.025 | 0.032 | 0.27 | 0.004 |
Ось наша крива в координатах «справжня напруга – справжня деформація» σ-ε:
Діємо так само, як і в попередньому прикладі і отримуємо таку криву:
Це і є зміна швидкості зміцнення в процесі деформації. Що з нею робити, це вже окреме питання.
Чим може допомогти Excel під час обчислення похідної функції? Якщо функція задана рівнянням, то після аналітичного диференціювання та отримання формули Excel допоможе швидко розрахувати значення похідної для будь-яких значень аргументу, що цікавлять користувача.
Якщо функція отримана практичними вимірами і задана табличними значеннями, Excel може надати у цьому випадку більш істотну допомогу при виконанні чисельного диференціювання та подальшій обробці та аналізі результатів.
На практиці завдання обчислення похідної методом чисельного диференціювання може виникнути і в механіці (при визначенні швидкості та прискорення об'єкта за наявними вимірами шляху та часу) та теплотехніки (при розрахунку теплопередачі в часі). Це також може бути необхідно, наприклад, при бурінні свердловин для аналізу щільності шару грунту, що проходить буром, при вирішенні цілого ряду балістичних завдань, і т. д.
Схожа ситуація має місце при «зворотній» задачі розрахунку складно навантажених балок, коли за прогинами виникає бажання знайти значення навантажень, що діють.
У другій частині статті на «живому» прикладі розглянемо обчислення похідної за наближеною формулою чисельного диференціювання із застосуванням виразів у кінцевих різницях та розберемося у питанні – чи можнавикористовуючи наближення похідних кінцевими різницями за прогинами балки визначати навантаження, що діють у перерізах?
Мінімум теорії.
Похідна визначає швидкість зміни функції, що описує будь-який процес у часі або просторі.
Межа відношення зміни в точці функції зміни змінної при прагненні зміни змінної до нуля називається похідною безперервної функції.
y' (x )=lim (Δy /Δx )при Δx →0
Геометричний сенс похідної функції у точці – це тангенс кута нахилу до осі x дотичної графіку функції у цій точці.
tg (α) = Δy /Δx
Якщо функція дискретна (таблична), наближене значення її похідної в точці знаходять за допомогою кінцевих різниць.
y′ (x ) i ≈(Δy /Δx )i=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )
Кінцевими різницю називають тому, що вони мають конкретне, виміряне, кінцеве значення на відміну від величин, що прагнуть нуля або нескінченності.
У таблиці нижче представлений ряд формул, які стануть у нагоді при чисельному диференціюванні табличних функцій.
Центрально-різносні формули дають, як правило, більш точні результати, але часто їх не можна застосувати на краях діапазонів значень. Для цих випадків знадобляться наближення лівими та правими кінцевими різницями.
Обчислення похідної другого порядку на прикладі розрахунку моментів у перерізах балки за відомими прогинами.
Дано:
На балку довжиною 8 метрів із шарнірними опорами по краях виготовлену з двох спарених сталевих (Ст3) двотаврів 30М спираються 7 прогонів з кроком 1 метр. До центральної частини балки кріпиться майданчик із обладнанням. Імовірно зусилля від покриття, що передається через прогони на балку, у всіх точках однаково F 1. Підвісний майданчик має вагу 2*F 2і кріпиться до балки у двох точках.
Передбачається, що балка до застосування навантажень була абсолютно пряма, а після навантаження знаходиться в зоні пружних деформацій.
На малюнку нижче показана розрахункова схема завдання та загальний вигляд епюр.
На наступному екрані представлені вихідні дані.
Розрахункові вихідні дані:
3. Погонна маса двотавра 30М:
γ =50,2 кг/м
Перетин балки складено з двох двотаврів:
n =2
Питома вага балки:
q =γ *n *g =50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм
5. Момент інерції перетину двотавра 30М:
I x1 = 95000000 мм 4
Момент інерції складного перерізу балки:
I x =I x 1 *n =95 000 000*2=190 000 000 мм 4
10. Оскільки балка навантажена симетрично щодо своєї середини, реакції обох опор однакові і рівні кожна половині сумарного навантаження:
R = (q *z max +8 * F 1 +2 * F 2) / 2 = (0,985 * 8000 +8 * 9000 +2 * 50000) / 2 = 85 440 Н
У розрахунку враховується власна вага балки!
Завдання:
Знайти значення згинального моменту M xiу перерізах балки аналітично за формулами опору матеріалів та методом чисельного диференціювання розрахункової лінії прогинів. Порівняти та проаналізувати отримані результати.
Рішення:
Перше, що ми зробимо, це здійснимо розрахунок у Excel поперечних сил Q y, згинальних моментів M x, кутів повороту U xосі балки та прогинів V xза класичними формулами сопромату у всіх перерізах з кроком h. (Хоча, в принципі, значення сил та кутів нам надалі не знадобляться.)
Результати обчислень перебувають у осередках I5-L54. На скріншоті нижче показано половину таблиці, оскільки значення у другій її частині дзеркальні або аналогічні представленим значенням.
Використані у розрахунках формули можна подивитися.
Отже, нам відомі точні значення моментів та прогинів.
З теорії ми знаємо, що:
Кут повороту - це перша похідна прогину U =V’.
Момент - це друга похідна прогину M =V’’.
Сила - це третя похідна прогину Q =V’’’.
Припустимо, що стовпець точних значень прогинів отримано не аналітичними розрахунками, а вимірами на реальній балці, і ми більше не маємо жодних інших даних. Обчислимо другі похідні від точних значень прогинів, використовуючи формулу (6) таблиці попереднього розділу статті, і знайдемо значення моментів методом чисельного диференціювання.
M xi =V y '′ ≈((V i +1 -2*V i +V i -1 )/h 2)*E *I x
Підсумок розрахунків ми бачимо у осередках M5-M54.
Точні значення моментів, розраховані за аналітичними формулами супромату з урахуванням ваги самої балки, відрізняються від знайдених за наближеними формулами обчислення похідних незначно. Моменти визначені дуже точно, судячи з відносних похибок, розрахованих у відсотках у осередках N5-N54.
ε =(M x -V y '' )/M x *100%
Поставлене завдання вирішено. Ми виконали обчислення похідної другого порядку за наближеною формулою з використанням кінцевих кінцевих різниць і отримали відмінний результат.
Знаючи точнізначення прогинів можна методом чисельного диференціювання з високою точністю знайти діючі в перерізах моменти та визначити ступінь навантаженості балки!
Проте...
На жаль, не варто думати, що на практиці легко отриматинеобхідні високоточні результати вимірювань прогинів складно навантажених балок!
Справа в тому, що вимірювання прогинів потрібно виконувати з точністю ~1 мкм і намагатися максимально зменшувати крок вимірів. h, «Спрямовуючи його до нуля», хоча і це може не допомогти уникнути помилок.
Найчастіше зменшення кроку вимірів при значних похибках вимірів прогинів може призвести до абсурдних результатів. Слід бути дуже уважними при чисельному диференціюванні, щоб уникнути фатальних помилок.
Сьогодні є прилади - лазерні інтерферометри, що забезпечують високу швидкість, стабільність і точність вимірювань до 1 мкм, програмно відсіюють шум, і багато чого програмно вміють, але їх ціна - більше 300 000 $.
Давайте подивимося, що станеться, якщо ми просто округлимо точні значення прогинів з нашого прикладу до двох знаків після коми – тобто до сотих часток міліметра і заново за тією самою формулою обчислення похідної перерахуємо моменти у перерізах.
Якщо раніше максимальна помилка не перевищувала 0,7%, то зараз (у перетині i=4) перевищує 23%, хоч і залишається прийнятною в найбільш небезпечному перерізі ( ε 21=1,813%).
Крім розглянутого чисельного методу обчислення похідних за допомогою кінцевих різниць можна (а часто і потрібно) застосувати інший спосіб - заміри статечним багаточленом і знайти похідні аналітично, а потім звірити результати, отримані різними шляхами. Але слід розуміти, що диференціювання апроксимаційного статечного многочлена - це теж зрештою наближений спосіб, що істотно залежить від ступеня точності апроксимації.
Вихідні дані - результати вимірювань - в більшості випадків перед використанням у розрахунках слід обробляти, видаляючи значення, що вибиваються з логічного ряду.
Обчислення похідної чисельними методами завжди необхідно виконувати дуже обережно!
Шановні читачі, відгуки та коментарі до статті, розміщуйте у спеціальному блоці нижче статті.
Щоб отримати інформацію про вихід нових статей на блозі, підпишіться на анонси у вікні, розташованому вгорі сторінки або одразу після статті.
Прошу шановних труд автора завантажити файл з прикладом ПІСЛЯ ПЕРЕДПЛАТИ на новини статей.
Графічне диференціювання починають із побудови графіка функції за заданими значеннями. При експериментальному дослідженні такий графік отримують за допомогою самописних приладів. Далі проводять дотичні до кривої у фіксованих положеннях та обчислюють значення похідної по тангенсу кута, утвореного дотичної з віссю абсцис.
На рис. 5.8, азображено криву отриману експериментально на установці (рис. 5.6). Визначення кутового прискорення (шуканої функції) проводять графічним диференціюванням за співвідношенням:
(5.19)
Тангенс кута нахилу дотичної до кривої в деякій точці i представляють у вигляді відношення відрізків, де До- Вибраний відрізок інтегрування (рис. 5.8, б)
Після підстановки цього співвідношення у співвідношення (5.19) одержують
де – ордината позовного графіка кутового прискорення;
Масштаб шуканого графіка; одиниці СІ: = мм; = мм/(радий з -2).
Графік функції будують за знайденими значеннями ординат ряду позицій. Крапки на кривій з'єднують від руки плавною лінією, а потім обводять за допомогою лекала.
Графічне диференціювання розглянутим методом дотичних має відносно низьку точність. Більш високу точність одержують при графічному диференціювання методом хорд (рис. 5.8, ві г).
 |
На заданій кривій відзначають ряд точок 1 ", 2 ", 3" , що з'єднують хордами, тобто. замінюють задану криву ламаною лінією. Приймають таке припущення: кут нахилу дотичних у точках, розташованих посередині кожної ділянки кривої, дорівнює куту нахилу відповідної хорди. Це припущення вносить певну похибку, але вона належить лише до цієї точки. Ці похибки не сумуються, що забезпечує прийнятну точність способу.
Інші побудови аналогічні раніше описаним при графічному диференціюванні методом дотичних. Вибирають відрізок (мм); проводять промені, нахилені під кутами 
до перетину з віссю ординат у точках 1
", 2
", 3
... , які переносять на ординати, проведені в середині кожного з інтервалів. 1
*, 2
*, 3
* є точками шуканої функції 
.
Масштаби по осях координат при цьому методі побудови пов'язані таким самим співвідношенням (5.21), яке було виведено для випадку графічного диференціювання методом дотичних.
Диференціювання функції f(x), заданої (чи обчисленої) як масиву чисел, виконують шляхом чисельного диференціювання із застосуванням ЕОМ.
Чим менший крок у масиві чисел, тим точніше можна обчислити значення похідної функції у цьому інтервалі
