Нехай задано функцію двох змінних. Дамо аргументу збільшення, а аргумент залишимо незмінним. Тоді функція отримає збільшення, яке називається приватним збільшенням змінної і позначається:

Аналогічно, фіксуючи аргумент і надаючи аргументу прирощення, отримаємо приватне збільшення функції за змінною:

Величина називається повним збільшенням функції в точці.

Визначення 4. Приватної похідної функції двох змінних однією з цих змінних називається межа відношення відповідного приватного збільшення функції до збільшення даної змінної, коли останнє прагне нуля (якщо ця межа існує). Позначається приватна похідна так: або, або.

Таким чином, за визначенням маємо:

Приватні похідні функції обчислюються за тими самими правилами і формулами, як і функція однієї змінної, у своїй враховується, що з диференціюванні по змінної, вважається постійної, а при диференціюванні по змінної постійної вважається.

Приклад 3. Знайти приватні похідні функції:

Рішення. а) Щоб знайти вважаємо постійною величиною та диференціюємо як функцію однієї змінної:

Аналогічно, вважаючи постійною величиною, знаходимо:

Визначення 5. Повним диференціалом функції називається сума творів приватних похідних цієї функції на збільшення відповідних незалежних змінних, тобто.

З огляду на, що диференціали незалежних змінних збігаються зі своїми приростами, тобто. , формулу повного диференціала можна записати у вигляді

Приклад 4. Визначити повний диференціал функції.

Рішення. Оскільки за формулою повного диференціалу знаходимо

Приватні похідні найвищих порядків

Приватні похідні називають приватними похідними першого порядку або першими приватними похідними.

Визначення 6. Приватними похідними другого порядку функції називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.

Приватних похідних другого порядку чотири. Вони позначаються так:

Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го та більш високих порядків. Наприклад, для функції маємо:

Приватні похідні другого або вищого порядку, взяті з різних змінних, називаються змішаними приватними похідними. Для функції є похідні. Зауважимо, що у випадку, коли змішані похідні безперервні, має місце рівність.

Приклад 5. Визначити приватні похідні другого порядку функції

Рішення. Приватні похідні першого порядку цієї функції знайдено у прикладі 3:

Диференціюючи і змінними х і y, отримаємо

Функції двох змінних, приватні похідні, диференціали та градієнт

Тема 5.Функції двох змінних.

приватні похідні

Визначення функції двох змінних, методи завдання.

Приватні похідні

Градієнт функції однієї змінної

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

1. Визначення функції кількох змінних, способи завдання

Для функції двох змінних
областю визначення є деяке безліч точок на площині
, а областю значень – проміжок на осі
.

Для наочного уявлення функції двох змінних застосовуються лінії рівня.

Приклад . Для функції
побудувати графік та лінії рівня. Записати рівняння лінії рівня, що проходить через точку
.

Графіком лінійної функціїє площинав просторі.

Для функції графік є площиною, що проходить через точки
,
,
.

Лініями рівня функціїє паралельні прямі, рівняння яких
.

Для лінійної функції двох змінних
лінії рівня задаються рівнянням
і є сімейство паралельних прямих на площині.

4

Графік функції 0 1 2 Х

Лінії рівня функції

Приватні проїзведені функції двох змінних

Розглянемо функцію
. Надамо змінної у точці
довільне прирощення
, залишаючи значення змінної незмінним. Відповідне збільшення функції

називається приватним збільшенням функції змінноїу точці
.

Аналогічно визначається приватне збільшення функціїпо змінній: .

Позначенняприватної похідної по: , ,
,
.

Приватної похідної функції змінної називається кінцева межа :

Позначення: , ,
,
.

Для знаходження приватної похідної
за змінною використовуються правила диференціювання функції однієї змінної, вважаючи змінну постійною.

Аналогічно, для знаходження приватної похідної за змінною постійною вважається змінна .

Приклад . Для функції
знайти приватні похідні
,
і обчислити їх значення у точці
.

Приватна похідна функції
по змінній перебуває у припущенні, що постійна:

Знайдемо приватну похідну функції, вважаючи постійною:

Обчислимо значення приватних похідних при
,
:

;
.

Приватними похідними другого порядку Функції кількох змінних називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.

Запишемо для функції приватні похідні 2-го порядку:

;
;

;
.

;
і т.д.

Якщо змішані приватні похідні функції кількох змінних безперервні у певній точці
, то вони рівні між собоюу цій точці. Отже, для функції двох змінних значення змішаних похідних приватних не залежать від порядку диференціювання:

.

приклад. Для функції знайти приватні похідні другого порядку
і
.

Рішення

Змішана приватна похідна знаходиться послідовним диференціюванням на початку функції (вважаючи постійним), потім диференціюванням похідної
(вважаючи постійним).

Похідна знаходиться диференціюванням спочатку функції , потім похідної .

Змішані приватні похідні рівні між собою:
.

3. Градієнт функції двох змінних

Властивості градієнта

Приклад . Дана функція
. Знайти градієнт
у точці
та побудувати його.

Рішення

Знайдемо координати градієнта – приватні похідні.

У точці
градієнт дорівнює. Початок вектору
у точці, а кінець - у точці.

5

4. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

Постановка задачі. Нехай на площині замкнута обмежена область
задається системою нерівностей виду
. Потрібно знайти в області точки, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення.

Важливим є завдання знаходження екстремуму, математична модель якої містить лінійніобмеження (рівняння, нерівності) та лінійнуфункцію
.

Постановка задачі. Знайти найбільше та найменше значення функції
(2.1)

при обмеженнях

(2.2)

. (2.3)

Оскільки для лінійної функції багатьох змінних немає критичних точок всерединіобласті
то оптимальне рішення, що доставляє цільової функції екстремум, досягається тільки на кордоні області. Для області, заданої лінійними обмеженнями, точками можливого екстремуму є кутові точки. Це дозволяє розглядати розв'язання задачі графічним методом.

Графічне вирішення системи лінійних нерівностей

Для графічного розв'язання цього завдання необхідно вміти вирішувати графічно системи лінійних нерівностей із двома змінними.

Порядок дій:

Зазначимо, що нерівність
визначає праву координатну напівплощину(від осі
), а нерівність
- верхню координатну напівплощину(від осі
).

приклад. Вирішити графічно нерівність
.

Запишемо рівняння граничної прямої
і побудуємо її за двома точками, наприклад,
і
. Пряма ділить площину на дві півплощини.

Координати точки
задовольняють нерівності (
– вірно), отже, і координати всіх точок напівплощини, що містить точку , задовольняють нерівності. Рішенням нерівності будуть координати точок напівплощини, розташованої праворуч від граничної прямої, включаючи точки на кордоні. Шукана напівплощина малюнку виділено.

Рішення
системи нерівностей називається допустимим, Якщо його координати неотрицательны , . Безліч допустимих рішень системи нерівностей утворює область, яка розташована в першій чверті координатної площини.

приклад. Побудувати область розв'язків системи нерівностей

Розв'язаннями нерівностей є:

1)
- напівплощина, розташована ліворуч і нижче відносно прямої ( )
;

2)
- напівплощина, розташована в правій-нижній півплощині щодо прямої ( )
;

3)
- напівплощина, розташована правіше прямої ( )
;

4) - напівплощина вище осі абсцис, тобто прямий ( )
.

0

Область допустимих рішеньданої системи лінійних нерівностей – це безліч точок, розташованих усередині та на межі чотирикутника
, що є перетиномчотирьох напівплощин.

Геометричне зображення лінійної функції

(лінії рівня та градієнт)

Зафіксуємо значення
, отримаємо рівняння
, що геометрично задає пряму. У кожній точці прямої функція набуває значення і є лінією рівня.Надаючи різні значення, наприклад,

, ... , отримаємо безліч ліній рівня - сукупність паралельних прямих.

Побудуємо градієнт- Вектор
координати якого рівні значенням коефіцієнтів при змінних функції
. Даний вектор: 1) перпендикулярний кожній прямій (лінії рівня)
; 2) показує напрямок зростання цільової функції.

Приклад . Побудувати лінії рівня та градієнт функції
.

Лінії рівня при , , - це прямі

,
,

, паралельні один одному. Градієнт – це вектор, перпендикулярний до кожної лінії рівня.

Графічне знаходження найбільшого та найменшого значень лінійної функції в області

Геометрична постановка задачі. Знайти в області розв'язків системи лінійних нерівностей точку, якою проходить лінія рівня, що відповідає найбільшому (найменшому) значенню лінійної функції з двома змінними.

Послідовність дій:

4. Знайти координати точки А, вирішуючи систему рівнянь прямих, що перетинаються в точці А, та обчислити найменше значення функції
. Аналогічно – для точки В та найбільшого значення функції
. побудована за точками. Приватніпохідніфункціїкількох зміннихта техніка диференціювання. Екстремум функціїдвохзміннихта його необхідне...

Продовжуємо улюблену тему математичного аналізу – похідні. У цій статті ми навчимося знаходити приватні похідні функції трьох змінних: перші похідні та другі похідні. Що необхідно знати та вміти для освоєння матеріалу? Не повірите, але, по-перше, потрібно вміти знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної – на високому чи хоча б середньому рівні. Якщо з ними дуже туго, то почніть з уроку Як знайти похідну?По-друге, дуже важливо прочитати статтю та осмислити-вирішувати якщо не всі, то більшу частину прикладів. Якщо це вже зроблено, то впевненою ходою йдемо зі мною, буде цікаво, навіть отримаєте задоволення!

Методи та принципи знаходження приватних похідних функції трьох зміннихнасправді дуже схожі на приватні похідні функції двох змінних. Функція двох змінних, нагадую, має вигляд , де «ікс» та «ігрок» – незалежні змінні. Геометрично функція двох змінних є деякою поверхнею в нашому тривимірному просторі.

Функція трьох змінних має вигляд, при цьому змінні називаються незалежнимизміннимиабо аргументами, змінна називається залежною змінноюабо функцією. Наприклад: – функція трьох змінних

А тепер трохи про фантастичні фільми та інопланетян. Часто можна почути про чотиривимірне, п'ятимірне, десятимірне і т.д. просторах. Нісенітниця чи ні?
Адже функція трьох змінних має на увазі той факт, що всі справи відбуваються в чотиривимірному просторі (справді, змінних чотири). Графік функції трьох змінних є так званою гіперповерхня. Уявити її неможливо, оскільки ми живемо у тривимірному просторі (довжина/ширина/висота). Щоб вам зі мною не було нудно, пропоную вікторину. Я поставлю кілька запитань, а бажаючі можуть спробувати на них відповісти:

– Чи існує у світі четверте, п'яте тощо. вимірювання у сенсі обивательського розуміння простору (довжина/ширина/висота)?

– Чи можна побудувати чотиривимірне, п'ятивимірне тощо? простір у широкому розумінні цього слова? Тобто навести приклад такого простору в нашому житті.

– Чи можлива подорож у минуле?

– Чи можлива подорож у майбутнє?

– Чи існують інопланетяни?

На будь-яке запитання можна вибрати одну з чотирьох відповідей:
Так / Ні (наукою це заборонено) / Наукою це не заборонено / Не знаю

Хто правильно відповість на всі питання, той, швидше за все, має деяку річ;-)

Відповіді на запитання я поступово видаватиму під час уроку, не пропускайте приклади!

Власне, полетіли. І одразу хороша новина: для функції трьох змінних справедливі правила диференціювання та таблиця похідних. Саме тому вам необхідно добре керуватися із «звичайними» похідними функційоднієї змінної. Відмінностей зовсім небагато!

Приклад 1

Рішення:Неважко здогадатися - для функції трьох змінних існують триприватних похідних першого порядку, які позначаються так:

Або - приватна похідна по "ікс";
або – приватна похідна за «ігроком»;
або - приватна похідна по "зет".

У ходу більше позначення зі штрихом, але укладачі збірників, методик в умовах задач дуже люблять використовувати якраз громіздкі позначення - так що не губіться! Можливо, не всі знають, як правильно читати вголос ці страшні дроби. Приклад: слід читати так: «де у по де ікс».

Почнемо з похідною за «ікс»: . Коли ми знаходимо приватну похідну по , то змінні і вважаються константами (постійними числами).А похідна будь-якої константи, о, благодать, дорівнює нулю:

Відразу зверніть увагу на підрядковий індекс – ніхто вам не забороняє помічати, що є константами. Так навіть зручніше, початківцям рекомендую використовувати саме такий запис, менше ризик заплутатися.

(1) Використовуємо властивості лінійності похідної, зокрема виносимо всі константи за знак похідної. Зверніть увагу, що у другому доданку константу виносити не потрібно: оскільки «гравець» є константою, то теж константа. У доданку за похідною знак винесена «звичайна» константа 8 і константа «зет».

(2) Знаходимо найпростіші похідні, не забуваючи при цьому, що константи. Далі зачісуємо відповідь.

Приватна похідна. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то змінні і вважаються константами:

(1) Використовуємо властивості лінійності. І знову зауважте, що доданки є константами, а значить, за знак похідної виносити нічого не потрібно.

(2) Знаходимо похідні, не забуваючи, що константи. Далі спрощуємо відповідь.

І, нарешті, приватна похідна. Коли ми знаходимо приватну похідну по «зет», то змінні і вважаються константами:

Загальне правилоочевидно і невигадливо: Коли ми знаходимо приватну похіднуза будь-якою незалежної змінної, тодві інші незалежні змінні вважаються константами.

При оформленні даних завдань слід бути дуже уважним, зокрема, не можна втрачати підрядні індекси(які вказують, якою змінною проводиться диференціювання). Втрата індексу буде ГРУБИМ НЕДАЧОМ. Хммм. забавно, якщо після такого залякування я їх сам десь їх пропущу)

Приклад 2

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянуті два приклади досить прості і, вирішивши кілька подібних завдань, навіть чайник намагається розправлятися з ними усно.

Для розвантаження повернемося до першого питання вікторини: Чи існує у світі четверте, п'яте тощо. вимірювання у сенсі обивательського розуміння простору (довжина/ширина/висота)?

Вірна відповідь: Наукою це не заборонено. Вся фундаментальна математична аксіоматика, теореми, математичний апарат чудово несуперечливопрацюють у просторі будь-якої розмірності. Не виключено, що десь у Всесвіті існують непідвладні нашому розуму гіперповерхні, наприклад, чотиривимірна гіперповерхня, яка задається функцією трьох змінних. А може бути гіперповерхні поруч із нами або навіть ми знаходимося прямо в них, просто наш зір, інші органи почуттів, свідомість здатні на сприйняття та осмислення лише трьох вимірів.

Повернемося до прикладів. Так, якщо хтось сильно завантажився вікториною, відповіді на наступні питання краще прочитати після того, як навчитеся знаходити приватні похідні функції трьох змінних, а то я вам по ходу статті винесу весь мозок =)

Крім найпростіших прикладів 1,2 на практиці зустрічаються завдання, які можна назвати невеликою головоломкою. Такі приклади, на мою досаду, випали з поля зору, коли я створював урок Приватні похідні функції двох змінних. Навертаємо втрачене:

Приклад 3

Рішення:як би тут «все просто», але перше враження оманливе. При знаходженні приватних похідних багато хто буде ворожити на кавовій гущі і помилятися.

Розберемо приклад послідовно, чітко та зрозуміло.

Почнемо з приватної похідної з «ікс». Коли ми знаходимо приватну похідну на «ікс», то змінні вважаються константами. Отже, показник нашої функції теж константа. Для чайників рекомендую наступний прийом рішення: на чернетці поміняйте константу на конкретне ціле позитивне число, наприклад, на «п'ятірку». В результаті вийде функція однієї змінної:
або ще можна записати так:

Це статечнафункція зі складною основою (синусом). По:

Тепер згадуємо, що , таким чином:

На чистовику, звичайно, рішення слід оформити так:

Знаходимо приватну похідну за «ігроком», вважаються константами. Якщо «ікс» константа, то теж константа. На чернетці проробляємо той же трюк: замінимо, наприклад, на 3, «зет» - замінимо на ту ж «п'ятірку». В результаті знову виходить функція однієї змінної:

Це показовафункція зі складним показником. за правилу диференціювання складної функції:

Тепер згадуємо нашу заміну:

Таким чином:

На чистовику, зрозуміло, оформлення має виглядати благообразно:

І дзеркальний випадок із приватною похідною по «зет» (-константи):

За певного досвіду проведений аналіз можна проводити подумки.

Виконуємо другу частину завдання – складемо диференціал першого порядку. Це дуже просто, за аналогією з функцією двох змінних, диференціал першого порядку записується за такою формулою:

В даному випадку:

І діло те. Зазначу, що у практичних завданнях повний диференціал 1-го порядку функції трьох змінних вимагають скласти значно рідше, ніж функції двох змінних.

Забавний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних та скласти повний диференціал першого порядку

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Якщо виникнуть труднощі, використовуйте розглянутий «чайніковський» алгоритм, він має гарантовано допомогти. І ще корисна порада – не поспішайте. Таких прикладів швидко не вирішую навіть я.

Відволікаємось і розбираємо друге питання: Чи можна побудувати чотиривимірне, п'ятивимірне тощо? простір у широкому розумінні цього слова? Тобто навести приклад такого простору в нашому житті.

Вірна відповідь: Так. Причому дуже легко. Наприклад, додаємо до довжини/ширини/висоти четвертий вимір – час. Популярний чотиривимірний простір-час і всім відома теорія відносності, акуратно вкрадена Ейнштейном у Лобачевського, Пуанкарі, Лоренца та Мінковського. Теж не всі знають. За що Ейнштейн Нобелівську премію? У науковому світі був страшний скандал, і Нобелівський комітет сформулював заслугу плагіатора приблизно так: «За загальний внесок у розвиток фізики». Так воно. Бренд трієчника Ейнштейна – чиста розкрутка та піар.

До розглянутого чотиривимірного простору легко додати п'ятий вимір, наприклад: тиск атмосферний. І так далі, так далі, так далі, скільки поставите вимірювань у своїй моделі - стільки і буде. У широкому значенні слова ми живемо у багатовимірному просторі.

Розберемо ще пару типових завдань:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку у точці

Рішення:Завдання у такому формулюванні часто зустрічається на практиці та передбачає виконання наступних двох дій:
- Потрібно знайти приватні похідні першого порядку;
- Необхідно визначити значення приватних похідних 1-го порядку в точці .

Вирішуємо:

(1) Перед нами складна функція, і на першому кроці слід взяти похідну від арктангенсу. При цьому ми, по суті, використовуємо табличну формулу похідної арктангенса. за правилу диференціювання складної функціїРезультат необхідно помножити на похідну внутрішньої функції (вкладення): .

(2) Використовуємо властивості лінійності.

(3) І беремо похідні, що залишилися, не забуваючи, що – константи.

За умовою завдання необхідно знайти значення знайденої приватної похідної у точці. Підставимо координати точки у знайдену похідну:

Перевагою цього завдання є той факт, що інші приватні похідні знаходяться за дуже схожою схемою:

Як бачите, шаблон вирішення практично такий самий.

Обчислимо значення знайденої приватної похідної в точці:

І, нарешті, похідна по «зет»:

Готово. Рішення можна було оформити і інакше: спочатку знайти всі три приватні похідні, а потім обчислити їх значення у точці . Але, мені здається, наведений спосіб зручніший – тільки знайшли приватну похідну, і відразу, не відходячи від каси, вирахували її значення у точці.

Цікаво відзначити, що геометрична точка – цілком реальна точка нашого тривимірного простору. Значення функції, похідних – вже четвертий вимір, і де воно геометрично знаходиться, ніхто не знає. Як то кажуть, Всесвітом ніхто з рулеткою не повзав, не перевіряв.

Коли знову філософська тема пішла, розглянемо третє питання: Чи можлива подорож у минуле?

Вірна відповідь: Ні. Подорож у минуле суперечить другому закону термодинаміки про необоротність фізичних процесів (ентропії). Так що не пірнайте, будь ласка, в басейн без води, подію можна відкрутити назад тільки у відеозаписі =) Народна мудрість не дарма вигадала протилежний життєвий закон: «Сім разів відміряй, один раз відріж». Хоча, насправді сумна штука, час односпрямований і незворотний, ніхто з нас завтра не помолодшає. А різні фантастичні фільми на кшталт «Термінатора» з наукового погляду – цілковита нісенітниця. Абсурд і з погляду філософії – коли Слідство, повернувшись у минуле, може знищити власну Причину. .

Цікавіше з похідною по «зет», хоча, все одно майже те саме:

(1) Виносимо константи за знак похідної.

(2) Тут знову добуток двох функцій, кожна з яких залежитьвід "живої" змінної "зет". В принципі, можна використати формулу похідної приватного, але простіше таки піти іншим шляхом – знайти похідну від твору.

(3) Похідна – це таблична похідна. У другому доданку – вже знайома похідна складної функції.

Приклад 9

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних

Це приклад самостійного рішення. Подумайте, як раціональніше знаходити ту чи іншу приватну похідну. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Перед тим як перейти до заключних прикладів уроку та розглянути приватні похідні другого порядкуфункції трьох змінних, всіх ще раз підбадьорю четвертим питанням:

Чи можлива подорож у майбутнє?

Вірна відповідь: Наукою це не заборонено. Парадоксально, але не існує математичного, фізичного, хімічного або іншого природничо закону, який би забороняв подорож у майбутнє! Здається нісенітницею? Але практично у кожного в житті був передчуття (причому, не підкріплене ніякими логічними доводами), що відбудеться та чи інша подія. І воно відбувалося! Звідки надійшла інформація? З майбутнього? Таким чином, фантастичні фільми про подорож у майбутнє, та й, до речі, передбачення всіляких ворожок, екстрасенсів не можна назвати такою вже маренням. Принаймні наука цього не спростувала. Все можливо! Так, коли я навчався у школі, то компакт-диски та плоскі монітори з фільмів здавались мені неймовірною фантастикою.

Відома комедія «Іван Васильович змінює професію» – вигадка наполовину (як максимум). Жодний науковий закон не забороняв Івану Грозному опинитися в майбутньому, але неможливо, щоб два перці опинилися в минулому та виконували обов'язки царя.

Розглянемо функцію від двох змінних:

Оскільки змінні $x$ і $y$ є незалежними, для такої функції можна запровадити поняття приватної похідної:

Приватна похідна функції $f$ у точці $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за змінною $x$ - це межа

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Аналогічно можна визначити приватну похідну за змінною $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Іншими словами, щоб знайти приватну похідну функції кількох змінних, потрібно зафіксувати решту змінних, крім шуканої, а потім знайти звичайну похідну за цією шуканою змінною.

Звідси випливає основний прийом для обчислення таких похідних: просто вважайте, що всі змінні, крім цієї, є константою, після чого диференціюйте функцію так, як диференціювали б «звичайну» - з однією змінною. Наприклад:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Очевидно, що приватні похідні з різних змінних дають різні відповіді – це нормально. Куди важливіше розуміти, чому, скажімо, у першому випадку ми спокійно винесли $10y$ з-під похідної знака, а в другому — зовсім обнулили перший доданок. Все це відбувається через те, що всі літери, крім змінної, за якою йде диференціювання, вважаються константами: їх можна виносити, спалювати і т.д.

Що таке "приватна похідна"?

Сьогодні ми поговоримо про функції кількох змінних та про приватні похідні від них. По-перше, що таке функція кількох змінних? Досі ми звикли вважати функцію як $y\left(x \right)$ або $t\left(x \right)$, або будь-яку змінну та одну-єдину функцію від неї. Тепер функція в нас буде одна, а змінних кілька. У разі зміни $y$ та $x$ значення функції змінюватиметься. Наприклад, якщо $x$ збільшиться вдвічі, значення функції зміниться, при цьому якщо $x$ зміниться, а $y$ не зміниться, значення функції так само зміниться.

Зрозуміло, функцію від кількох змінних, так само як і від однієї змінної, можна диференціювати. Однак оскільки змінних кілька, то й диференціювати можна з різних змінних. У цьому виникають специфічні правила, яких був при диференціюванні однієї змінної.

Перш за все, коли ми вважаємо похідну функції від будь-якої змінної, то повинні вказувати, за якою змінною ми вважаємо похідну - це і називається приватною похідною. Наприклад, у нас функція від двох змінних, і ми можемо порахувати її як $x$, так і $y$ — дві приватних похідних у кожної зі змінних.

По-друге, щойно ми зафіксували одну зі змінних і починаємо вважати приватну похідну саме за нею, то всі інші, що входять до цієї функції, вважаються константами. Наприклад, $z\left(xy \right)$, якщо ми вважаємо приватну похідну по $x$, то скрізь, де ми зустрічаємо $y$, ми вважаємо її константою і звертаємося з нею саме як з константою. Зокрема при обчисленні похідної твори ми можемо виносити $y$ за дужку (у нас же константа), а при обчисленні похідної суми, якщо у нас десь виходить похідна від виразу, що містить $y$ і не містить $x$, то похідна цього виразу дорівнюватиме «нулю» як похідна константи.

На перший погляд може здатися, що я розповідаю про щось складне, і багато учнів спочатку плутаються. Проте нічого надприродного у приватних похідних немає, і ми переконаємося у цьому з прикладу конкретних завдань.

Завдання з радикалами та багаточленами

Завдання №1

Щоб не гаяти часу, з самого початку почнемо з серйозних прикладів.

Для початку нагадаю таку формулу:

Це стандартне табличне значення, яке ми знаємо із стандартного курсу.

У цьому випадку похідна $z$ вважається так:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Давайте ще раз, оскільки під корінням стоїть не $x$, а якийсь інший вираз, в даному випадку $\frac(y)(x)$, то спочатку ми скористаємося стандартним табличним значенням, а потім, оскільки під корінням стоїть не $x $, а інший вираз, нам необхідно примножити нашу похідну на ще одну з цього виразу за тією ж змінною. Давайте для початку порахуємо наступне:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Повертаємось до нашого виразу та записуємо:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

У принципі це все. Однак залишати її в такому вигляді неправильно: таку конструкцію незручно використовувати для подальших обчислень, тому давайте її трохи перетворимо:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Відповідь знайдено. Тепер займемося $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Випишемо окремо:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Тепер записуємо:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Все зроблено.

Завдання №2

Цей приклад одночасно і простіше і складніше, ніж попередній. Складніше, тому що тут більше дій, а простіше, тому що тут немає кореня та, крім того, функція симетрична щодо $x$ та $y$, тобто. якщо ми поміняємо $x$ та $y$ місцями, формула від цього не зміниться. Це зауваження надалі спростить обчислення приватної похідної, тобто. Достатньо порахувати одну з них, а в другій просто поміняти місцями $x$ і $y$.

Приступаємо до справи:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Давайте порахуємо:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Проте багатьом учням такий запис незрозумілий, тому запишемо ось так:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Таким чином, ми ще раз переконуємося в універсальності алгоритму приватних похідних: яким би ми їх не вважали, якщо всі правила застосовуються правильно, відповідь буде та сама.

Тепер давайте розберемося ще з однією приватною похідною нашої великої формули:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Підставимо отримані висловлювання на нашу формулу і отримаємо:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left(((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ пораховано. А щоб порахувати $y$ від того самого виразу, давайте не будемо виконувати всю ту ж послідовність дій, а скористаємося симетрією нашого вихідного виразу - ми просто замінимо в нашому вихідному виразі всі $y$ на $x$ і навпаки:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

За рахунок симетрії ми порахували цей вираз набагато швидше.

Нюанси вирішення

Для приватних похідних працюють всі стандартні формули, які ми використовуємо для звичайних, а саме похідна приватного. При цьому, однак, виникають свої специфічні особливості: якщо ми вважаємо приватну похідну $x$, то коли ми отримуємо її по $x$, то розглядаємо її як константу, і тому її похідна дорівнюватиме «нулю».

Як і у випадку зі звичайними похідними, приватну (одну й ту саму) можна порахувати кількома різними способами. Наприклад, ту ж конструкцію, яку ми щойно порахували, можна переписати так:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Разом про те, з іншого боку, можна використовувати формулу від похідної суми. Як ми знаємо, вона дорівнює сумі похідних. Наприклад, запишемо таке:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Тепер, знаючи все це, давайте спробуємо попрацювати з більш серйозними висловлюваннями, оскільки справжні приватні похідні не обмежуються одними лише багаточленами та корінням: там зустрічаються і тригонометрія, і логарифми, і показова функція. Тепер цим і займемося.

Завдання з тригонометричними функціями та логарифмами

Завдання №1

Запишемо такі стандартні формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Озброївшись цими знаннями, спробуємо вирішити:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо випишемо одну змінну:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Повертаємось до нашої конструкції:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все, по $x$ ми знайшли, тепер давайте займемося обчисленнями $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Знову ж таки порахуємо один вираз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Повертаємося до вихідного виразу та продовжуємо вирішення:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все зроблено.

Завдання №2

Запишемо необхідну нам формулу:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Тепер порахуємо за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

За $x$ знайдено. Вважаємо по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Завдання вирішено.

Нюанси вирішення

Отже, від якої функції ми не брали приватну похідну, правила залишаються одними і тими ж, незалежно від того, чи працюємо ми з тригонометрією, з корінням або з логарифмами.

Незмінними залишаються класичні правила роботи зі стандартними похідними, а саме, похідна суми та різниці, приватної та складної функції.

Остання формула найчастіше зустрічається під час вирішення завдань із приватними похідними. Ми зустрічаємося з ними практично скрізь. Жодного завдання ще не було, щоб там нам воно не траплялося. Але якою б ми не скористалися формулою, нам все одно додається ще одна вимога, а саме, особливість роботи з приватними похідними. Щойно ми фіксуємо одну змінну, решта виявляються константами. Зокрема, якщо ми вважаємо приватну похідну виразу $\cos \frac(x)(y)$ $y$, то саме $y$ і є змінною, а $x$ скрізь залишається константою. Те саме працює і навпаки. Її можна виносити за знак похідної, а похідна від самої константи дорівнюватиме «нулю».

Все це призводить до того, що приватні похідні від одного й того ж виразу, але з різних змінних можуть виглядати по-різному. Наприклад, подивимося такі вирази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Завдання з показовими функціями та логарифмами

Завдання №1

Для початку запишемо таку формулу:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаючи цей факт, а також похідну складної функції, спробуємо порахувати. Я зараз вирішу двома різними способами. Перший і найочевидніший — це похідна робота:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте вирішимо окремо такий вираз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Повертаємося до нашої вихідної конструкції та продовжуємо вирішення:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y) \right)\]

Все, $x$ пораховано.

Однак, як я і обіцяв, зараз постараємося порахувати цю ж приватну похідну іншим способом. Для цього зауважимо таке:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

У цьому запишемо так:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В результаті ми отримали таку саму відповідь, проте обсяг обчислень виявився меншим. Для цього досить було помітити, що при добутку показники можна складати.

Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Давайте вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Продовжимо вирішення нашої вихідної конструкції:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Зрозуміло, цю ж похідну можна було б порахувати другим способом, відповідь вийшла б такою самою.

Завдання №2

Порахуємо за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте порахуємо один вираз окремо:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]

Продовжимо рішення вихідної конструкції: $$

Ось така відповідь.

Залишилось за аналогією знайти по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Один вираз порахуємо як завжди окремо:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Продовжуємо вирішення основної конструкції:

Все пораховано. Як бачите, залежно від того, яка змінна береться для диференціювання, відповіді виходять абсолютно різні.

Нюанси вирішення

Ось яскравий приклад того, як похідну однієї й тієї функції можна порахувати двома різними способами. Ось дивіться:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

При виборі різних шляхів, обсяг обчислень може бути різний, але відповідь, якщо все виконано правильно, вийде одним і тим самим. Це стосується як класичних, і приватних похідних. У цьому ще раз нагадую: залежно від цього, якою змінної йде взяття похідної, тобто. диференціювання, відповідь може вийти зовсім різною. Подивіться:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Насамкінець для закріплення всього цього матеріалу давайте спробуємо порахувати ще два приклади.

Завдання з тригонометричною функцією та функцією з трьома змінними

Завдання №1

Давайте запишемо такі формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Давайте тепер вирішувати наш вираз:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо порахуємо таку конструкцію:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продовжуємо вирішувати вихідний вираз:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Це остаточна відповідь приватної змінної $x$. Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Вирішуємо до кінця нашу конструкцію:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Завдання №2

На перший погляд, цей приклад може здатися досить складним, бо тут три змінні. Насправді це одне з найпростіших завдань у сьогоднішньому відеоуроці.

Знаходимо по $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Тепер розберемося з $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Ми знайшли відповідь.

Тепер залишається знайти $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Ми порахували третю похідну, на чому вирішення другого завдання повністю завершене.

Нюанси вирішення

Як бачите, нічого складного у цих двох прикладах немає. Єдине, у чому ми переконалися, то це в тому, що похідна складної функції застосовується часто і залежно від того, яку приватну похідну ми вважаємо, ми отримуємо різні відповіді.

В останній задачі нам було запропоновано розібратися з функцією відразу від трьох змінних. Нічого страшного в цьому немає, проте наприкінці ми переконалися, що всі вони один від одного суттєво відрізняються.

Ключові моменти

Остаточні висновки із сьогоднішнього відеоуроку такі:

1. Приватні похідні вважаються так само, як і звичайні, при цьому, щоб вважати приватну похідну по одній змінній, решта всіх змінних, що входять в цю функцію, ми приймаємо за константи.
2. Працюючи з приватними похідними ми використовуємо ті самі стандартні формули, як і з звичайними похідними: суму, різницю, похідну твори і приватного і, зрозуміло, похідну складної функції.

Звичайно, перегляду одного цього відеоуроку недостатньо, щоб повністю розібратися в цій темі, тому прямо зараз на моєму сайті саме до цього відео є комплект завдань, присвячених сьогоднішній темі — заходьте, завантажуйте, вирішуйте ці завдання і звіряйтеся з відповіддю. І після цього жодних проблем із приватними похідними ні на іспитах, ні на самостійних роботах у вас не буде. Звичайно, це далеко не останній урок з вищої математики, тому заходьте на наш сайт, додавайте ВКонтакте, підписуйтесь на YouTube, ставте лайки і залишайтеся з нами!

Приватні похідні функції кількох змінних є функціями тих самих змінних. Ці функції, у свою чергу, можуть мати приватні похідні, які ми називатимемо другими приватними похідними (або приватними похідними другого порядку) вихідної функції.

Так, наприклад, функція двох змінних має чотири приватні похідні другого порядку, які визначаються і позначаються наступним чином:

Функція трьох змінних має дев'ять приватних похідних другого порядку:

Аналогічно визначаються і позначаються приватні похідні третього та вищого порядку функції кількох змінних: приватною похідною порядку функції кількох змінних називається приватна похідна першого порядку від приватної похідної порядку тієї ж функції.

Наприклад, приватна похідна третього порядку функції є приватна похідна першого порядку від приватної похідної другого порядку

Приватна похідна другого або вищого порядку, взята за декількома різними змінними, називається змішаною приватною похідною.

Наприклад, приватні похідні

є змішаними приватними похідними функції двох змінних.

приклад. Знайти змішані приватні похідні другого порядку функції

Рішення. Знаходимо приватні похідні першого порядку

Потім знаходимо змішані приватні похідні другого порядку

Ми, що змішані приватні похідні і відмінні між собою лише порядком диференціювання, т. е. послідовністю, у якій виробляється диференціювання з різних змінним, виявилися тотожно рівними. Цей результат невипадковий. Щодо змішаних приватних похідних має місце така теорема, яку приймаємо без докази.