Операції з матрицею разів приклади. Матриці та операції над ними. Операція множення матриць
Матрицеюрозмірності називається прямокутна таблиця, що складається зелементів, розташованих в mрядках та nстовпці.
Елементи матриці (перший індекс i− номер рядка, другий індекс j− номер стовпця) можуть бути числами, функціями тощо. Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту.
Матриця називається квадратний, якщо в неї число рядків дорівнює числу стовпців ( m = n). У цьому випадку число nназивається порядком матриці, а сама матриця називається матрицею n-го порядку.
Елементи з однаковими індексами 
утворюють головну діагональквадратної матриці, а елементи (тобто мають суму індексів, рівну n+1)
− побічну діагональ.
Одиничною матрицеюназивається квадратна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють 1, а інші елементи дорівнюють 0. Вона позначається буквою Е.
Нульова матриця− це матриця, всі елементи якої дорівнюють 0. Нульова матриця може бути будь-якого розміру.
До числа лінійних операцій над матрицямивідносяться:
1) додавання матриць;
2) множення матриць на число.
Операція додавання матриць визначена тільки для матриць однакової розмірності.
Сумою двох матриць Аі Вназивається матриця З, всі елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць Аі В:
.
Добутком матриці А на число kназивається матриця В, всі елементи якої дорівнюють відповідним елементам даної матриці А, помноженим на число k:
Операція множення матрицьвводиться для матриць, що задовольняють умові: число стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої.
Добутком матриці Арозмірності на матрицю Врозмірності називається матриця Зрозмірності , елемент i-ого рядка та j-го стовпця якої дорівнює сумі творів елементів i-ого рядка матриці Ана відповідні елементи j-го стовпця матриці В:
Твір матриць (на відміну твори дійсних чисел) не підпорядковується переміщувальному закону, тобто. у загальному випадку А В В А.
1.2. Визначники. Властивості визначників
Поняття визначникавводиться лише для квадратних матриць.
Визначником матриці 2-го порядку називається число, яке обчислюється за наступним правилом
.
Визначником матриці 3-го порядку 
називається число, яке обчислюється за таким правилом:
Перше із доданків зі знаком «+» є твір елементів, розташованих на головній діагоналі матриці (). Інші два містять елементи, розташовані у вершинах трикутників з основою, паралельною головній діагоналі (і). Зі знаком «-» входять добутки елементів побічної діагоналі () та елементів, що утворюють трикутники з основами, паралельними цій діагоналі (і).
Це обчислення визначника 3-го порядку називається правилом трикутників (або правилом Саррюса).
Властивості визначниківрозглянемо з прикладу визначників 3-го порядку.
1. При заміні всіх рядків визначника на стовпці з тими самими номерами, як і рядки, визначник свого значення змінює, тобто. рядки та стовпці визначника рівноправні
.
2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює свій знак.
3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) нулі, то визначник дорівнює 0.
4. Загальний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
5. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпця), дорівнює 0.
6. Визначник, що містить два пропорційні рядки (стовпця), дорівнює нулю.
7. Якщо кожен елемент деякого стовпця (рядка) визначника становить суму двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж стовпці (рядку) стоять перші доданки, а в іншому – другі. Інші елементи в обох визначників однакові. Так,
.
8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його стовпця (рядки) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядки), помножені на те саме число.
Наступна властивість визначника пов'язана з поняттями мінору та додатку алгебри.
Міноромелемента визначника називається визначник, отриманий з даного викреслюванням того рядка і стовпця, на перетині яких цей елемент розташований.
Наприклад, мінором елемента визначниканазивається визначник.
Алгебраїчним доповненнямелементавизначника називається його мінор, помножений на, де i− номер рядка, j− номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент . Додаток алгебри зазвичай позначається. Для елементавизначника 3-го порядку алгебраїчне доповнення
9. Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на відповідні їм додатки алгебри.
Наприклад, визначник можна розкласти за елементами першого рядка
,
або другого стовпця
Властивості визначників застосовуються їх обчислення.
1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого - визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!
Визначення матриці
Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою – таблиця чисел.
Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.
Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.
Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.
Операції складання та віднімання матриць
Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.
Віднімання виконується за аналогією, лише з протилежним знаком.
На будь-яке число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, треба помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:
Операція множення матриць
Перемножити між собою вдасться не всі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити один на одного тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожен елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі творів відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:
І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:
Операція транспонування матриці
Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці міняються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:
Визначник матриці
Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У підсумку, розбиратися з усім цим належить вам, так що останній ривок!
Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.
Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.
А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.
Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.
На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.
Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або ж навпаки - зіткнутися зі значно складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.
Матриці. Види матриць. Операції над матрицями та його властивості.
Визначник матриці n-го порядку. N, Z, Q, R, C,
Матрицею порядку m*n називається прямокутна таблиця з чисел, що містить m-рядок і n – стовпців.
Рівність матриць:
Дві матриці називаються рівними, якщо число рядків і стовпців однієї з них дорівнює відповідно до числа рядків і стовпців іншого і відповідн. ел-ти цих матриць рівні.
Примітка: Ел-ти, які мають однакові індекси, є відповідними.
Види матриць:
Квадратна матриця: матриця називається квадратною, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців.
Прямокутна: матриця називається прямокутною, якщо число рядків не дорівнює числу стовпців.
Матриця рядка: матриця порядку 1*n (m=1) має вигляд a11, a12, a13 і називається матрицею рядка.
Матриця стовпець:………….
Діагональна: діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, тобто що складається з елементів а11, а22 ... - називається головною діагоналлю. (опред: квадратна матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, крім тих, що розташовані на головній діагоналі, називається діагональною матрицею.
Одинична: діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи розташовані на головній діагоналі та дорівнюють 1.
Верхня трикутна: А=||aij|| називається верхньою трикутною матрицею, якщо aij=0. За умови i>j.
Нижня трикутна: aij=0. i Нульова: це матриця Ел-ти якої дорівнює 0. Операції над матрицями. 1.Транспонування. 2.Умножение матриці на число. 3.Складання матриць. 4. Множення матриць. Основні св-ва події над матрицями. 1.A+B=B+A (комутативність) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність) 3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивність) 4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.) 6.AB≠BA (відсутня ком.) 7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –виконується, якщо опред. Виробів матриць виконується. 8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.) (B+C)A=BA+CA (дистриб.) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Визначник квадратної матриці - визначення та його властивості. Розкладання визначника за рядками та стовпцями. Способи обчислення визначників. Якщо матриця має порядок m>1, то визначник цієї матриці – число. Алгебраїчним доповненням Aij ел-та aij матриці А називається мінор Mij, помножений на число ТЕОРЕМА1: Визначник матриці А дорівнює сумі творів всіх елементів довільного рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення. Основні характеристики визначників. 1. Визначник матриці не зміниться під час її транспонування. 2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак, а абсолютна величина його не змінюється. 3. Визначник матриці, що має два однакові рядки (стовпці) дорівнює 0. 4.При множенні рядка (стовпця) матриці на число її визначник множиться на це число. 5. Якщо один із рядків (стовпців) матриці складається з 0, то визначник цієї матриці дорівнює 0. 6. Якщо всі елементи i-го рядка (стовпця) матриці представлені у вигляді суми двох доданків, то її визначник можна подати у вигляді суми визначників двох матриць. 7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного стовпця (рядка) додати відповідно ел-ти іншого стовпця (рядка) попередньо множ. на те саме число. 8.Сума довільних елементів якогось стовпця (рядка) визначника на відповідне алгебраїчне доповнення елементів іншого стовпця (рядка) дорівнює 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Способи обчислення визначника: 1. За визначенням або теоремою 1. 2. Приведення до трикутного вигляду. Визначення та властивості зворотної матриці. Обчислення зворотної матриці. Матричні рівняння. Визначення: Квадратна матриця порядку n називається зворотною до матриці А того ж порядку і позначається Для того, щоб для матриці А існувала зворотна матриця, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А був відмінний від 0. Властивості зворотної матриці: 1. Єдиність: для даної матриці А її обернена - єдина. 2. визначник матриці 3. Операція взяття транспонування та взяття матриці зворотної. Матричні рівняння: Нехай А та В дві квадратні матриці того ж порядку. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Поняття лінійної залежності та незалежності стовпців матриці. Властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи стовпців. Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно залежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю. Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно незалежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю. Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти С(l) дорівнюють 0 і не тривіальною в іншому випадку. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2.для того, щоб стовпці були лінійно залежні необхідно і достатньо, щоб який-небудь стовпець був лінійною комбінацією інших стовпців. Нехай 1 з стовпців є лінійною комбінацією інших стовпців. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" лінійно залежні, то і всі стовпці лінійно залежні. 4. Якщо система стовпців лінійно незалежна, будь-яка її підсистема так само лінійно незалежна. (Все, що сказано щодо стовпців, справедливо і для рядків). Мінори матриці. Базисні мінори. Ранг матриці. Метод обрамляють мінорів обчислення рангу матриці. Мінором порядку до матриці А називається визначник елементи якого розташовані на перетині до-рядків і до-стролбців матриці А. Якщо всі мінори к-го порядку матриці А =0, будь-який мінор порядку до+1 теж дорівнює 0. Базовий мінор. Рангом матриці А називається порядок її базового мінору. Метод обрамляючих мінорів: - Вибираємо не нульовий елемент матриці А (Якщо такого елемента не існує, то ранг А = 0) Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку. (Якщо цей мінор не дорівнює 0, то ранг >=2) Якщо ранг цього мінору =0, то обрамляємо вибраний мінор 1-го порядку іншими мінорами 2-го порядку. (Якщо всі мінори 2-го порядку = 0, то ранг матриці = 1). Ранг матриці. Способи знаходження рангу матриці. Рангом матриці А називається порядок його базового мінору. Способи обчислення: 1) Метод облямівних мінорів: -Вибираємо ненульовий елемент матриці А (якщо такого елемента немає, то ранг =0) - Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядка. >r+1 Mr+1=0. 2) Приведення матриці до ступінчастого вигляду: цей метод заснований на елементарних перетвореннях. При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється. Елементарними перетвореннями називаються такі перетворення: Перестановка двох рядків (стовпців). Умножение всіх елементів деякого стовпця (рядки) число не =0. Додаток до всіх елементів деякого стовпця (рядка) елементів іншого стовпця (рядка), попередньо помножених на одне і те ж число. Теорема про базисний мінор. Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника. Базовим мінором матриці А називається мінор найбільшого до-го порядку відмінного від 0. Теорема про базисний мінор: Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпчик) матриці А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців). Рядки та стовпці на перетині яких стоїть базисний мінор називаються відповідно базисними рядками та стовпцями. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Необхідні та достатні умови рівності нулю визначника: Щоб визначник n-го порядку =0, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні. Системи лінійних рівнянь, їх класифікація та форми запису. Правило Крамер. Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!} називається визначником системи. Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо у визначнику D послідовно 1, 2 та 3 стовпці стовпцем вільних членів https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!} Доказ. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на додаток алгебри A11 елемента a11, 2-е рівняння – на A21 і 3-е – на A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!} Розглянемо кожну з дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!} Аналогічно можна показати, що і . Нарешті неважко помітити, що Отже, отримуємо рівність: . Отже, . Аналогічно виводяться рівність і , звідки і слідує твердження теореми. Системи лінійних рівнянь. Умова сумісності лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі. Рішенням системи алгебраїчних рівнянь називається така сукупність n чисел C1,C2,C3……Cn, яка при підстановці у вихідну систему на місце x1,x2,x3…..xn звертає всі рівняння системи у тотожності. Система лінійних рівнянь алгебри називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має безліч рішень. Умови сумісності систем лінійних рівнянь алгебри. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn ТЕОРЕМА: Для того щоб система m лінійних рівнянь з n невідомими була спільною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці А. Примітка: Ця теорема дає лише критерії існування рішення, але не вказує способу пошуку рішення. 10 питання. Системи лінійних рівнянь. Метод базисного мінору - загальний спосіб відшукування всіх рішень систем лінійних рівнянь. A=a21 a22…..a2n Метод базисного мінору: Нехай система спільна та RgA=RgA'=r. Нехай базовий мінор розписаний у верхньому лівому кутку матриці А. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Якщо ранг основної матриці і аналізованої дорівнює r=n, то в цьому випадку dj=bj і система має єдине рішення. Однорідні системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь алгебри називається однорідною, якщо всі її вільні члени рівні нулю. AX=0 – однорідна система. АХ = В - неоднорідна система. Однорідні системи завжди спільні. Х1 = х2 = .. = хn = 0 Теорема 1. Однорідні системи мають неоднорідні рішення, коли ранг матриці системи менший за кількість невідомих. Теорема 2. Однорідна система n-лінійних рівнянь з n-невідомими має нульове рішення, коли визначник матриці А дорівнює нулю. (detA=0) Властивості розв'язків однорідних систем. Будь-яка лінійна комбінація рішення однорідної системи є рішенням цієї системи. α1C1 +α2C2; α1 та α2 – деякі числа. А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (AC2) = 0 Для неоднорідної системи ця властивість немає місця. Фундаментальна система рішень. Теорема 3. Якщо ранг матричної системи рівняння з n-невідомими дорівнює r, ця система має n-r лінійно-незалежних рішень. Нехай базовий мінор у лівому верхньому кутку. Якщо r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2.. Cn-rr ,0, 0..1) Система n-r лінійно-незалежних рішень однорідної системи лінійних рівнянь з n-невідомими рангами r називається фундаментальною системою рішень. Теорема 4. Будь-яке рішення системи лінійних рівнянь є лінійною комбінацією рішення фундаментальної системи. С = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r Якщо r 12 питання. Загальне розв'язання неоднорідної системи. Сон (заг. неоднор.) = Соо + Сч (приватне) АХ = В (неоднорідна система); АХ = 0 (АСоо) +АСч = АСч = В, т. К. (АСоо) = 0 Сон = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч Метод Гауса. Це спосіб послідовних винятків невідомих (змінних) – у тому, що з допомогою елементарних перетворень, вихідна система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх змінних, знаходять решту змінних. Нехай а≠0 (якщо це не так, то перестановкою рівнянь досягають цього). 1) виключаємо змінну х1 з другого, третього ... n-ого рівняння, помножуючи перше рівняння на відповідні числа і додаючи отримані результати до 2-го, 3-го ... n-го рівняння, тоді отримуємо: Отримуємо систему рівносильну вихідній. 2) виключаємо змінну х2 3) виключаємо змінну х3 і т.д. Продовжуючи процес послідовного виключення змінних х4; х5 ... хr-1 отримаємо для (r-1) кроку. Число нуль останніх n-r в рівняннях означають, що їхня ліва частина має вигляд: 0х1 +0х2+..+0хn Якщо хоча б одне з чисел вr+1, вr+2… не дорівнюють нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) не є спільною. Таким чином, для будь-якої спільної системи ця вr+1...вm дорівнює нулю. Останнє n-r рівняння в системі (1; r-1) є тотожностями і їх можна не брати до уваги. Можливі два випадки: а) число рівнянь системи (1; r-1) дорівнює числу невідомих, тобто r = n (у цьому випадку система має трикутний вигляд). б) r Перехід від системи (1) до рівносильної системи (1; r-1) називається прямим ходом методу Гаусса. Про знаходження змінної із системи (1; r-1) – зворотним ходом методу Гаусса. Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи їх з рівняннями, і з розширеною матрицею їх коефіцієнтів. 13 питання. Подібні матриці. Розглянемо тільки квадратні матриці порядку n/ Матриця А називається подібною матриці (А~В), якщо існує така неособлива матриця S, що А=S-1BS. Властивості таких матриць. 1) Матриця А подібна сама собі. (А~А) Якщо S=Е, тоді ЕАЕ=Е-1АЕ=А 2) Якщо А ~ В, то В ~ А Якщо А = S-1ВS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B 3) Якщо А~В і одночасно В~С, то А~С Дано, що А=S1-1BS1 і В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, де S3 = S2S1 4)Визначники подібних матриць рівні. Дано, що А~В, треба довести, що detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (скорочуємо) = detB. 5) Ранги подібних матриць збігаються. Власні вектори та власні значення матриць. Число λ називається власним значенням матриці А, якщо існує ненульовий вектор Х(матр. стовпець) такий, що АХ= Х, вектор Х називається власним вектором матриці А, а сукупність всіх власних значень називається спектром матриці А. Властивості власних векторів. 1)При множенні власного вектора на число отримаємо власний вектор із тим самим власним значенням. АХ = Х; Х≠0 α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ) 2) Власні вектори з попарно-різними власними значеннями лінійно незалежні λ1, λ2,.. λк. Нехай система складається з одного вектора, зробимо індуктивний крок: С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn = 0 (1) – множимо на А. С1 АХ1 + С2 АХ2 + .. + Сn АХn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 +.. +Сn λn Хn = 0 Помножуємо на λn+1 і віднімемо С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn + Сn +1 Хn +1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Потрібно щоб С1 = С2 = ... = Сn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Характеристичне рівняння. А-λЕ називається характеристичною матрицею для матриці А. Для того, щоб ненульовий вектор Х був власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню λ необхідно, щоб він був розв'язком однорідної системи лінійно-алгебраїчних рівнянь (А - λЕ)Х = 0 Нетривіальне рішення система має тоді, коли det (А – XЕ) = 0 – це характеристичне рівняння. Твердження! Характеристичні рівняння подібних матриць збігаються. det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ) Характеристичний багаточлен. det(A – λЕ)- функція щодо параметра λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А. Наслідок: 1) Якщо матриці А ~ В, то сума їх діагональних елементів збігається. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2)Багато власних значень подібних матриць збігаються. Якщо характеристичні рівняння матриць збігаються, вони необов'язково подібні. Для матриці А Для матриці В https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Для того, щоб матриця А порядку n була діагоналізована, необхідно, щоб існували лінійно-незалежні власні вектори матриці А. Наслідок. Якщо всі власні значення матриця А різні, вона діагоналізована. Алгоритм знаходження власних векторів та власних значень. 1) складаємо характеристичне рівняння 2) знаходимо корені рівнянь 3)складаємо систему рівнянь для визначення власного вектора. λi (A-λi E)X = 0 4) знаходимо фундаментальну систему рішень x1,x2..xn-r, де r - ранг характеристичної матриці. r =Rg(A - λi E) 5) власний вектор, власні значення λi записуються у вигляді: X = С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn-r Хn-r, де С12 + С22 + ... С2n ≠ 0 6) перевіряємо, чи може матриця бути приведена до діагонального вигляду. 7) знаходимо Ag Ag = S-1AS S = 15 питання. Базис прямої, площини, простору. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Модуль вектора дорівнює нулю, тоді, коли цей вектор нульовий (│ō│=0) 4.Орт вектор. Ортом даного вектора називається вектор, який спрямований однаково з цим вектором і має модуль, що дорівнює одиниці. Рівні вектори мають рівні орти. 5. Кут між двома векторами. Це менша частина площі, обмежена двома променями, що виходять з однієї точки та спрямовані однаково з даними векторами. Складання векторів. Умноження вектора на число. 1) Додавання двох векторів https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Розмноження вектора на скаляр. Добутком вектора та скаляра називають новий вектор, який має: а) = добутку модуля множуваного вектора на абсолютну величину скаляра. б) напрямок однаковий з множуваним вектором, якщо скаляр позитивний, і протилежний, якщо скаляр негативний. λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Властивості лінійних операцій над векторами 1. Закон комунітативності. 2. Закон асоціативності. 3. Додавання з нулем. а(вектор)+ō= а(вектор) 4. Додавання з протилежним. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6; 7. Закон дистрибутивності. Вираз вектор через його модуль і орт. Максимальна кількість лінійно-незалежних векторів називається базисом. Базисом на прямій є будь-який вектор. Базисом на площині є будь-які два некаленіарні вектори. Базисом у просторі є система будь-яких трьох некомпланарних векторів. Коефіцієнт розкладання вектора за деяким базисом називається компонентами або координатами вектора в даному базисі. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> виконати дію додавання та множення на скаляр, то в результаті будь-якої кількості таких дій отримаємо: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, рівна ?. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-незалежними, якщо не існує їхня нетривіальна лінійна комбінація. Властивості лінійно-залежних та Незалежних векторів: 1) система векторів, що містить нульовий вектор лінійно-залежна. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> були лінійно-залежними, необхідно, щоб якийсь вектор був лінійною комбінацією інших векторів. 3) якщо частина векторів із системи а1(вектор), а2(вектор) ... ак(вектор) лінійно-залежні, то і всі вектори лінійно-залежні. 4) якщо всі вектори https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Лінійні операції у координатах. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Властивості скалярного твору: 1. Комутативність 3. (a;b)=0, тоді і тільки тоді, коли вектори ортоганальні або якийсь із векторів дорівнює 0. 4. Дистрибутивність (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Вираз скалярного твору a та b через їх координати https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> При виконанні умови (), h, l = 1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> і називається третій вектор який задовольняє наступним рівнянням: 3. - права Властивості векторного твору: 4. Векторний твір координатних ортів Ортонормований базис. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Часто для позначення ортів ортонормованого базису використовуються 3 символи https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Якщо – це ортонормований базис, то https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- рівняння прямої паралельної осі ОХ 2) – рівняння прямої паралельної осі ОУ 2. Взамне розташування 2-х прямих. Теорема 1 Нехай щодо афінної системи координат дані рівняння прямих А) Тоді необхідна та достатня умова коли вони перетинаються має вигляд: Б) Тоді необхідна і достатня умова того, що прямі паралельні є умова: B) Тоді необхідною і достатньою умовою того, що прямі зливаються в одну є умова: 3. Відстань від точки до прямої. Теорема. Відстань від точки до прямої щодо декартової системи координат: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Кут між двома прямими. Умова перпендикулярності. Нехай 2 прямі задані щодо декартової системи координат загальними рівняннями. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Якщо , то прямі перпендикулярні. 24 питання. Площина у просторі. Умова комплонарності вектора та площини. Відстань від точки до площини. Умова паралельності та перпендикулярності двох площин. 1. Умова комплонарності вектора та площини. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Безименный4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Безименный5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Якщо , то площини перпендикулярні. 25 питання. Пряма линя у просторі. Різні види рівняння прямої лінії у просторі. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Векторне прямого рівняння в просторі. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Канонічне рівняння пряме. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний3.jpg" width="56" height="51">!} Лекція 1. «Матриці та основні дії над ними. Визначники
Визначення.
Матрицеюрозміру m
n, де m- Число рядків, n- Число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називають елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка та стовпця, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаютьсяa ij, де i- номер рядка, а j- Номер стовпця. А = Основні події над матрицями.
Матриця може складатися як з одного рядка, і з одного стовпця. Взагалі, матриця може складатися навіть з одного елемента. Визначення.
Якщо число стовпців матриці дорівнює кількості рядків (m=n), то матриця називається квадратний.
Визначення.
Матриця виду: називається одиничною матрицею.
Визначення.
Якщо a
mn
=
a
nm
, то матриця називається симетричної.
приклад. Визначення.
Квадратна матриця виду Складання та відніманняматриць зводиться до відповідних операцій над їх елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначено лише для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції складання та віднімання матриць: Визначення.
сумою (різницею)матриць є матриця, елементами якої є сума (різниця) елементів вихідних матриць. c ij = a ij
b ij З = А + В = В + А. Операція множення (поділу)матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (розподілу) кожного елемента матриці на це число. (А+В) = А В А( ) = А А приклад.Дано матриці А = 2А = Операція множення матриць.
Визначення:
Творомматриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за такими формулами: A
B =
C;
З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює кількості рядків другої.
Властивості операції множення матриць.
1) Множення матрицьне комутативно
, тобто. АВ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для якихось матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаютьсяперестановочними.
Найхарактернішим прикладом може бути
матриця, яка є перестановною з будь-якою іншою матрицею того ж розміру. Перестановочними можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку. Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються така властивість: A
O =
O;
O
A =
O,
де О – нульоваматриця. 2) Операція перемноження матриць асоціативна,тобто. якщо визначено твори АВ та (АВ)С, то визначено ВС та А(ВС), і виконується рівність: (АВ)С=А(ВС). 3) Операція множення матриць дистрибутивнастосовно до додавання, тобто. якщо мають сенс висловлювання А(В+З) та (А+В)З, то відповідно: (А + В) С = АС + ПС. 4) Якщо добуток АВ визначено, то для будь-якого числа
правильне співвідношення: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Якщо визначено добуток АВ, то визначено добуток В Т А Т і виконується рівність: (АВ) Т = В Т А Т, де індексом Т позначається транспонованаматриця. 6) Зауважимо також, що для будь-яких квадратних матриць det(AB) = detA detB. Що таке det буде розглянуто нижче. Визначення
.
Матрицю В називають транспонованоїматрицею А, а перехід від А до В транспонуваннямякщо елементи кожного рядка матриці А записати в тому ж порядку в стовпці матриці В. А = іншими словами, b ji = a ij. Як слідство з попередньої властивості (5) можна записати, що: (ABC ) T = C T B T A T , за умови, що визначено добуток матриць АВС. приклад.
Дано матриці А = A T =
C =
приклад.Знайти добуток матриць А = і В = АВ = ВА = приклад.Знайти добуток матриць А = АВ = Визначники(Детермінанти). Визначення.
Визначникомквадратної матриці А = det A = М 1 к– детермінант матриці, отриманої з вихідним викреслюванням першого рядка та k – го стовпця. Слід звернути увагу, що визначники мають лише квадратні матриці, тобто. матриці, у яких число рядків дорівнює кількості стовпців. Ф det A = Власне кажучи, визначник може обчислюватися по рядку чи стовпцю матриці, тобто. справедлива формула: detA = Очевидно, різні матриці можуть мати однакові визначники. Визначник одиничної матриці дорівнює 1. Для зазначеної матриці А число М1к називається додатковим міноромелемента матриці a 1 k. Таким чином, можна зробити висновок, що кожен елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують лише у квадратних матрицях. Визначення.
Додатковий мінордовільного елемента квадратної матриці a ij дорівнює визначнику матриці, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця. Властивість1.
Важливою властивістю визначників є таке співвідношення: det A = det A T; Властивість
2.
det (A
B) = det A
det B. Властивість 3.
det (AB) =
detA
detB Властивість 4.
Якщо квадратної матриці поміняти місцями якісь два рядки (або стовпця), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною. Властивість 5.
При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число. Властивість 6.
Якщо матриці А рядки чи стовпці лінійно залежні, її визначник дорівнює нулю. Визначення:
Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) рішення. Властивість 7.
Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, її визначник дорівнює нулю. (Це твердження очевидно, тому що вважати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.) Властивість 8.
Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів одного з його рядків (стовпця) додати (відняти) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на якесь число, що не дорівнює нулю. Властивість 9.
Якщо для елементів будь-якого рядка або стовпця матриці правильне співвідношення:d
=
d
1
d
2
,
e
=
e
1
e
2
,
f
= det(AB).
1-й метод: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 - 2 = 13; det(AB) = det A det B = -26. 2-й спосіб: AB =
– 152 = -26.
Визначення.Матрицею називається безліч чисел, яке складає прямокутну таблицю, що складається з рядків і стовпців коротко матрицю позначають так: де елементи даної матриці, i номер рядка, j номер стовпця. Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців ( m
=
n), то матриця називається квадратний
n-го порядку, а інакше – прямокутної.
Якщо m=
1 та
n >
1, то отримуємо однорядкову матрицю яка називається вектор-рядок
, якщо ж m>1 та n=1, то отримуємо одностовпцеву матрицю яка називається вектор-стовпцем
. Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональної.
Діагональна матриця, у якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одинично,
позначається E.
Матриця, отримана з даної заміною її рядка стовпцем з тим самим номером, називається транспонованої
до цієї. Позначається. Дві матриці і рівні, якщо рівні між собою елементи, що стоять на однакових місцях, тобто якщо при всіх i
і j(при цьому число рядків (стовпців) матриць Aі Bмає бути однаковим). 1°. Сумою двох матриць A=(a ij) та B=(b ij) з однаковою кількістю m
рядків та nстовпців називається матриця C=(c ij), елементи якої визначаються рівністю Суму матриць позначають C=A+B. приклад. 2 0 . Добутком матриці A=(a ij) на число λ
називається матриця, у якої кожен елемент дорівнює добутку відповідного елемента матриці Aна число λ
: λA=λ
(a ij)=(λa ij),
(i=1,2…,m; j=1,2…,n). приклад. 3 0 . Добутком матриці A=(a ij), що має mрядків та kстовпців, на матрицю B=(b ij), що має k
рядків та nстовпців, називається матриця C=(c ij), що має mрядків та nстовпців, у якої елемент c ijдорівнює сумі творів елементів i-ого рядка матриці A
і j-го стовпця матриці B, тобто При цьому кількість стовпців матриці Aмає дорівнювати числу рядків матриці B. Інакше твір не визначено. Твір матриць позначається A*B=C. приклад. Для добутку матриць не виконується рівність між матрицями A*
B
і B*
A, У випадку одна з них може бути не визначена. Розмноження квадратної матриці будь-якого порядку на відповідну одиничну матрицю не змінює матрицю. приклад.Нехай тоді відповідно до правила множення матриць маємо звідки укладаємо, що Нехай дана квадратна матриця третього порядку: Визначення.
Визначником третього порядку, який відповідає матриці (1), називається число, що позначається символом та визначається рівністю Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності (2) беруться зі знаком "+", а які зі знаком "-", корисно використати таке правило трикутників. приклад. Сформулюємо основні властивості визначників третього порядку, хоча вони притаманні визначникам будь-якого порядку. 1. Розмір визначника не зміниться, якщо його рядки і стовпці поміняти місцями, тобто. 2. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника дорівнює множенню його на -1. 3. Якщо визначник має два однакові стовпці або два однакові рядки, то він дорівнює нулю. 4. Розмноження всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число λ
рівносильне множенню визначника на це число λ
. 5. Якщо всі елементи деякого стовпця або деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю. 6. Якщо елементи двох стовпців або двох рядків визначника є пропорційними, то визначник дорівнює нулю. 7. Якщо кожен елемент n-го стовпця ( n-ой рядки) визначника являє собою суму двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один n-ом стовпці ( n-ом рядку) містить перші зі згаданих доданків, а інший - другі; елементи, що стоять інших місцях, в усіх трьох визначників одні й самі. Наприклад, 8 0 . Якщо до елементів деякого стовпця (рядки) визначника додати відповідні елементи іншого стовпця (рядки), помножені на будь-який загальний множник, то величина визначника не зміниться. Наприклад, Міноромдеякого елемента визначника називається визначник, який отримується з даного визначника викреслюванням рядка та стовпця, на перетині яких розташований цей елемент. Наприклад, мінором елемента а 1 визначника Δ
є визначником 2-го порядку Алгебраїчним доповненням деякого елемента визначника називається мінор цього елемента, помножений на (-1) p, де р- сума номерів рядка та стовпця, на перетині яких розташований цей елемент. Якщо, наприклад, елемент а 2 знаходяться на перетині 1-го стовпця і 2-го рядка, то для нього р=1+2=3 та алгебраїчним доповненням є 9 0 . Визначник дорівнює сумі творів елементів якогось стовпця або рядки на їх алгебраїчні доповнення. 10 0 . Сума творів елементів якогось стовпця або якогось рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого стовпця або іншого рядка дорівнюють нулю. Виникає питання, чи можна для квадратної матриці Апідібрати деяку матрицю, таку, що помноживши на неї матрицю Ав результаті отримати одиничну матрицю Е, таку матрицю називають зворотною до матриці А. Визначення.
Матриця називається зворотної квадратної матриці A, якщо. Визначення.
Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля. Інакше квадратна матриця називається виродженою. Будь-яка невироджена матриця має зворотну. Елементарними перетвореннями матрицьє: перестановка місцями двох паралельних рядів матриці; множення всіх елементів матриці на число, відмінне від нуля; додавання до всіх елементів ряду матриці відповідних елементів паралельного ряду, помножених на те саме число. Матриця В, отримана з матриці Аза допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентної
матрицею. Для невиродженої квадратної матриці третього порядку зворотна матриця А-1 може бути обчислена за такою формулою тут Δ - визначник матриці А,A ij
- алгебраїчні доповнення елементів a ij
матриці А. Елемент рядка матриці називається крайнім
, якщо він відмінний від нуля, а всі елементи рядка, що знаходяться ліворуч від нього, дорівнюють нулю. Матриця називається ступінчастою
якщо крайній елемент кожного рядка знаходиться правіше крайнього елемента попереднього рядка. Наприклад: Чи не ступінчаста; - ступінчаста.
= E
,
- симетрична матриця
називається діагональноїматрицею.
; B = 
, знайти 2А+В.
, 2А + В = 
.
.
А Е = Е А = А
А(В+С) = АВ+АС
; В = А Т = 
;
, В = , З = 
і число = 2. Знайти АТ + С.
;
A T B =
=
=
;
; А Т В + С = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, В = 
= 
= 
.
називається число, яке може бути обчислено за елементами матриці за формулою:
, де (1)
ормула (1) дозволяє обчислити визначник матриці по першому рядку, також справедлива формула обчислення визначника по першому стовпцю:
(2)
, i = 1,2, ..., n. (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
,Визначники та його властивості.
